85677 (Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков)

38

38

38

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Р еферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

С одержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³+₁x²y+₁xy²+₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)x³+₁x²y+₁xy²+₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2₁xy+₁y²+2₂x+₂y+₃)(ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²)+(₁x²+

2₁xy+3₁y²+₂x+2₂y+₃)(cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²)=(x3+₁x²y+₁xy²+ (1.5)

₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a₁₊₁a₂-f=0, (1.6₁)

(2a₁+2b₂-f)₁+2a₂₁-g+6b₁=0, (1.6₂)

2₁c₁+(2b₁+2c₂-g)₁+(6b₂-f)₁=0, (1.6₃)

(4b₁+c₂-g)₁+(a₁+4b₂-f)₁+3a₂₁+3c₁=0, (1.6₄)

c₁₁+(3c₂-g)₁=0; (1.6₅)

c₁+(2a₁-f)₂+a₂₂-k+3a=0, (1.7₁)

(2a+d-k)₁+2c1+(4b₁-g)2+(a₁+2b₂-f)2+2a₂₂+3b=0, (1.7₂)

2b₁+(a+2d-k)₁+3c₁+2c₁₂+(2b₁+c₂-g)₂+(4b₂-f)₂=0, (1.7₃)

b₁+(3d-k)₁+c₁₂+(2c₂-g)₂=0; (1.7₄)

(2a-k)₂+c₂+(a₁-f)₃+a₂₃=0, (1.8₁)

2b₂+(a+d-k)₂+2c₂+(2b₁-g)₃+(2b₂-f)₃=0, (1.8₂)

b₂+(2d-k)₂+c₁₃+(c₂-g)₃=0; (1.8₃)

(a-k)₃+c₃-f=0, (1.9₁)

b₃+(d-k)₃-g=0, (1.9₂)

k=0. (1.9₃)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда =0. Согласно (1.9₃) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂=c₁=0, а коэффициенты ₁, ₁, ₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁) – (1.9₃) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁-f=0, (1.10₁)

g+6b₁=0; (1.10₂)

(2a₁-f)₂+3a=0, (1.11₁)

(4b₁-g)2+(a₁+2b₂-f)2+3b=0, (1.11₂)

(2b₁+c₂-g)₂+(4b₂-f)₂=0, (1.11₃)

(2c₂-g)₂=0; (1.11₄)

2a₂+c₂+(a₁-f)₃=0, (1.12₁)

2b₂+(a+d)₂+2c₂+(2b₁-g)₃+(2b₂-f)₃=0, (1.12₂)

b₂+2d₂+(c₂-g)₃=0; (1.12₃)

a₃+c₃-f=0, (1.13₁)

b₃+d₃-g=0. (1.13₂)

Из условий (1.10₁) и (1.10₂) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁.

Из условия (1.11₄) имеем

(2c₂-g)₂=0.

Пусть _{2 ,} тогда

2c₂-g=0 и g=2c₂,

с другой стороны g = 6b₁, значит

c₂=3b₁.

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂=3b₁, из соотношений (1.11₁) – (1.11₃), (1.12₁), (1.12₃) и (1.13₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

_{2 =} , ₂ = ,

₂ = , ₃ = ,

₃ = ,(1.15)

= .

Равенства (1.12₂) и (1.13₂) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁, b₁, b₂:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0, (1.16)

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂=c₁=0, c₂=3b₁. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= x+y+, , , – постоянные:

m(ax+by+a₁x²+2b₁xy)+n(cx+dy+2b₂xy+3b₁y²)=

=(mx+ny+p)( x+y+). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁-)m= 0, (1.21₁)

(2b₁-)m+(2b₂-)n=0, (1.21₂)

(3b₁-)n=0; (1.21₃)

(a-)m+cn-p=0, (1.22₁)

bm+(d-)n-p= 0, (1.22₂)

p= 0. (1.22₃)