МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

"Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков"

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Построение двумерной стационарной системы

1.1 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

1.2 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в видекривых первого и второго порядков

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы первого класса построенных двумерных стационарных систем

2.2 Исследование одной системы второго класса построенных двумерных стационарных систем

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение

Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:

Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:

(1)

положив , и следовательно, .

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.

Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:

(2)

Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения

(3)

объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191–211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) – полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [5, c. 181–196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160–166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.

А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.

В данной работе рассматривается система:

и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые–первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.

При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.

Работа состоит из двух разделов.

В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.

Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с₁=а₂=0, то есть систему:

(1.1)

Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:

(1.2)

где F_k(x, y) – однородный полином от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:

F (x, y)=y²+αxy+βx²+γy+δx+σ=0. (1.3)

Согласно [8, c. 1752–1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

(1.4)

где L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.

Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:

(αy+2βx+δ) (ax+by+a₁ x²+2b₁xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+c₂y²)=

(y²+αxy+βx²+γy+δx+σ) (mx+ny+k).

Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b₁=b₂=c₂=1, тогда для интеграла (1.3) получим равенство:

(αy+2βx+δ) (ax+by+а₁x²+2xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+y²)=

(y²+αxy+βx²+γy+δx+σ) (mx+ny+k).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿ слева и справа, получим равенства:

2βа₁–mβ=0, (1.5₁)

(4-n)+(2+a₁–m)α=0, (1.5₂)

(3-n)+4-m=0, (1.5₃)

n=2, (1.5₄)

(2a–k)β+(a₁–m)δ+cα=0, (1.5₅)

2bβ+(2-n)δ+(a–k)α+2c+dα+(2-m)γ=0, (1.5₆)

bα+2d+(1-n)γ–k=0, (1.5₇)

aδ–kδ+cγ–mσ=0, (1.5₈)

bδ–kγ+dγ–nσ=0, (1.5₉)

kσ=0,

σ≠0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.

Из равенств (1.5₁) – (1.5₄) получим, что

n=2, m=2a_1,

α=2 (a₁–2), β=(a₁–2)² (1.6)

Для нахождения коэффициентов γ и δ рассматриваемого интеграла используем равенства (1.5₅) и (1.5₇):

γ=(a₁–2) b+2d, (1.7)

δ= ≠0.

Коэффициенты α, β, γ, δ, m, n подставляем в равенство (1.5₆), получим условие на коэффициенты системы:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0. (1.8)

Для нахождения коэффициента σ используем уравнение (1.5₈). Получим:

σ= . (1.9)

Подставим коэффициенты γ, δ,σ и к=0 в равенство (1.5₉), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:

2 (a₁–2)²a²–2a₁(a₁–2)²ab+2 (a₁–2) ac-2a₁²(a₁ –2) bd+2a₁cd-2a₁²d²=0,

которое можно записать в виде:

2 ((a₁–2) a–a₁(a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0 (1.10)

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.1 Система

Имеет частный интеграл y²+αxy+βx²+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:

α=2 (a₁–2),

β=(a₁–2)²,

γ=(a₁–2) b+2d,

δ= ≠0,

σ= ,

При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a₁–2) a–a₁(a-2) b+c–a₁d =0,

2 ((a₁–2) a – a₁ (a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0,

и а₁≠0, а₁≠2, с₁=а₂=0, a₁=b₁=c₂=1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:

mx+ny+p=0. (1.11)

Будем рассматривать теперь систему:

(1.12)

Согласно формуле (1.4), где L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:

m (ax+by+a₁x²+2xy)+n (cx+dy+2xy+y²)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿ слева и справа, получим равенства:

(a₁–M) m=0

(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)

(N-1) n=0

(a–P) m+cn–Mp=0

bm+(d–P) n–Np=0 (1.14)

Pp=0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.

Из равенств (1.13) получаем, что М=а_1, N=1,

n= m, (1.15)

p= ( ) m, m≠0.

Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0.

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система

Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами

n= m, p= ( ) m, m≠0,

При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением: