Untitled2 (Лекции по аналитической геометрии 1 семестр), страница 3

2013-08-16СтудИзба

Описание файла

Файл "Untitled2" внутри архива находится в папке "лекции". Документ из архива "Лекции по аналитической геометрии 1 семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "Untitled2"

Текст 3 страницы из документа "Untitled2"

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}

Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

§1. Декартова система координат.

Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.

Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любая

точка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций

на осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(Мх,Му,Мz).

В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленные координатным осям x, y и z соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор .

Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус −вектором точки М.

Пусть его координаты в данном базисе равны rx,ry и rz , т.е.


z Из определения суммы векторов (§2) сразу следует, что

вектор . В свою очередь, каждое

Mz из слагаемых правой части равно проекции вектора r на

М координатную ось (§3), умноженную на соответствующий

k r базисный орт: и

О j My y . В силу единственности разложения

i вектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:

Мх

x рис.1

В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны

его проекциям на координатные оси.

§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

В Пусть − произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'

М и В' с координатами Ах и Вх − проекции точек А и В на ось ОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна ВхАх (гл.I ,§3,св.3).

А' М' В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна , то |AB| =

(гл.1, §7).

  1. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число , где АМ и МВ − величины направленных отрезков , называемое отношением, в котором т. М делит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем: . Отсюда легко получаем координаты точки М:

.

Замечания.

    1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

    1. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т. величина λ будет отрицательной.

§2. Аналитическая геометрия на плоскости.

В этом и нескольких последующих параграфах будут рассмотрены основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Пусть дана некоторая фиксированная координатная плоскость, т.е. плоскость, на которой

задана декартова система координат XOY и ортонормированный базис {i, j}, орты которого сонаправлены координатным осям х и у соответственно.

Любая точка плоскости определяется двумя координатами – координатами своих ортогональных проекций на эти оси: М(х, у).

Любой вектор плоскости так же определяется двумя координатами – коэффициентами разложения по базису или, что то же самое, своими проекциями на координатные оси: а = (ах , ау).

Линия на плоскости определяется как геометрическое место точек плоскости (гмт), удовлетворяющих некоторому геометрическому или аналитическому условию. Геометрическое условие необходимо перевести в аналитическое (геометрия – аналитическая!), а у аналитического

− выяснить геометрический смысл (аналитическая геометрия). Аналитическим заданием линии является уравнение с двумя переменными: F(x, y) = 0, т.е. линия на плоскости определяется как

геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Иногда линия задается в параметрической форме:

Замечание. В математическом анализе уравнение F(x, y) = 0 называют неявным заданием функции

(частный случай y = f (x) называется явным заданием), т.е. используются понятия функции и аргумента. В аналитической геометрии, вообще говоря, переменные х и у считают равноправными.

§3. Прямая на плоскости.

Определим прямую l на плоскости следующим образом:

Пусть заданы произвольная фиксированная т. М0(х0,у0) и произвольный фиксированный

ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, который называется

нормальным вектором прямой или просто нормалью.

Прямой, проходящей через т. М0 , с данным нормальным вектором называется геометрическое место концов векторов на плоскости, имеющих начало в т. М0 и ортогональных вектору (рис.3).

Используя данное определение, легко написать аналитическое задание или уравнение этой прямой.

у Пусть т. М(х,у) − произвольная точка прямой.

Из условия сразу следует:

М0

М х Итак, − уравнение прямой, проходящей

Рис.3 через точку (х0,у0) и перпендикулярной вектору

Если обозначить выражение − Ах0Ву0 через С , то получим

общее уравнение прямой на плоскости:

§4. Специальные виды уравнения прямой.

  1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Хорошо известное уравнение y = k x + b, где k = tgφ − тангенс угла наклона прямой к оси ОХ ,

а bвеличина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осью OY .

II. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как прямая полностью определяется двумя точками, естественно написать соответствующее уравнение. Пусть даны две различные точки, принадлежащие прямой l:

. В этом случае . Отсюда :

− уравнение прямой через две точки.

III. Каноническое и параметрические уравнения прямой.

Любой вектор, коллинеарный прямой l называется направляющим вектором прямой.

(В частности, вектор (пункт II) − направляющий) Если дана точка на

прямой и направляющий вектор , то последнее уравнение можно переписать в виде:

каноническое уравнения прямой. Если полученную пропорцию приравнять

к параметру t , то получим параметрические уравнения прямой: .

IV. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть известны точки пересечения прямой с осями координат: .

Отсюда : уравнение прямой в отрезках.

§5. Основные задачи, связанные с прямой.

  1. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые l1 и l2 . Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, то

косинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями или направляющими векторами с помощью скалярного произведения: .

Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:

В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:

  1. Условия параллельности и ортогональности двух прямых.

  1. Расстояние от точки до прямой.

Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M*(x*, y*) до прямой l: Ax+By+C = 0.

Пусть М(х,у) − произвольная точка прямой, − нормаль (рис.4).

Расстояние от т.M* до прямой, очевидно, равно модулю проекции

М* вектора на вектор нормали:

М

Т.к. точка , то Ах + Ву = С и окончательно получаем:

Рис.4

Замечание. Знак выражения Ах*+Ву* меняется при переходе точки через прямую.

§6. Алгебраические линии на плоскости.

Линии, описываемые алгебраическим уравнением nго порядка от двух переменных, называют линиями или кривыми nго порядка на плоскости.

Линии 1 – го порядка описываются уравнением Ах + Ву + С = 0 ( ) представляют собой прямые.

Уравнения 2 – го порядка : ,( ) называют

кривыми 2 – го порядка и представляют собой целое семейство плоских кривых.

§7. Окружность.

Определение. Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от

заданной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Расстояние от

точек окружности до центра – радиус окружности.

Если центр окружности находится в т. М0(х0,у0), а радиус равен r, то уравнение окружности может быть написано в следующем виде:

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5368
Авторов
на СтудИзбе
412
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее