Untitled2 (506257), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение 1. Базисом векторного пространства L называется система элементов ,

удовлетворяющая двум условиям:

1) система {e₁,…,e_n} линейно независима.

2) Любой вектор L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов е₁, е₂, … , е_n): .

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве многочленов степени ≤ n : (1,х,х²,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами вектора в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису: а = ( ) или .

Замечания. 1. В силу Т.1 данное определение – корректно.

1. В качестве стандарта можно рассматривать как векторы – строки , так и векторы – столбцы.

2. Координаты базисных векторов е₁,е₂,е₃ (в пространстве) в собственном базисе равны:

е₁ = (1,0,0), е₂ = (0,1,0), е₃ = (0,0,1).

Определение 3. Размерностью векторного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 2. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V₂ ; V₃ ; Rⁿ; C[a,b].

Результаты линейных операций легко вычисляются в координатной форме.

Теорема 3. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

.

{ }

Теорема 4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα₁,…,λα_n). {д – во аналогично}

В заключение рассмотрим пример базиса, который используется наиболее часто.

Определение 4. Ортонормированным базисом в пространстве называется базис, состоящий из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины (на плоскости – из двух).

Эти векторы обозначают буквами i, j и k и называют

базисными ортами. Таким образом, выполняются соотношения

а a₃k , а произвольный вектор а

k a₂ j может быть представлен в следующем виде (рис.10):

j a = a₁ i + a₂ j + a₃ k = ( a₁, a₂, a₃ ).

a₁i i

рис.10

§6. Скалярное произведение.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное

произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними:

Из §3 сразу следует, что скалярное произведение может быть записано в виде:

Свойства скалярного произведения.

1. (a,b) = (b,a) {Следует из коммутативности произведения чисел и четности косинуса}

2. .

3. (а , b + c) = (a , b) + (a , c) .

{Два последних свойства следуют из соответствующих свойств проекций (§3) }

4. {Очевидно}

Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора. Последнее свойство утверждает, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Следующая теорема имеет принципиальное значение не только для векторного пространства, но и для любого его обобщения.

Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности). Два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

{Н.( )

Д.( ) }

Указанные свойства позволяют легко вычислять скалярные произведения по известным характеристикам векторов.

Пример. Вычислить , если

{ }

В действительности, более существенным является обратное утверждение: зная скалярные произведения, можно находить как длины векторов, так и углы между векторами:

Однако, для того, чтобы пользоваться данными формулами, необходимо уметь вычислять скалярное произведение, зная только координаты векторов.

§7. Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе { i, j, k }:

и . Умножая скалярно a на b, получим

Для выбранного базиса выполняются соотношения: Отсюда

получаем: − Скалярное произведение в ортонормированном базисе

равно сумме попарных произведений координат.

Таким образом, имеем:

Пример. Вычислить длины векторов и косинус угла между ними:

{ }

Замечание. В косоугольном базисе формула для выражения скалярного произведения через координаты будет, естественно, отличаться.

§8. Направляющие косинусы вектора.

Рассмотрим еще одну важную характеристику вектора.

Пусть задан ортонормированный базис { i, j, k } и произвольный вектор а .

Определение 1. Направляющими косинусами вектора а в данном базисе называются косинусы

углов между вектором а и базисными ортами: .

Теорема 1. Направляющие косинусы единичного вектора равны его координатам.

{Пусть В координатах: }

Теорема 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

{Пусть а = (а₁,а₂,а₃). Обозначим Аналогично

}

Пример. Найти направляющие косинусы вектора а = (4, −2, 4).

{ }

§9. Ориентация базиса в пространстве.

Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой , если

а) кратчайший поворот от первого вектора ко второму, видимый из конца третьего происходит против часовой стрелки (т.е. в положительном направлении), или б) по правилу винта, или

в) по правилу правой руки. В противном случае − левой. И в том и в другом случае тройка называется ориентированной.

Например, на рис.10 базис { i, j, k } − левый, а тройка {a, b, c} на рис.11 – правая.

с Очевидно, что все одинаково ориентированные ортонормированные базисы могут

b быть совмещены друг с другом с помощью параллельного переноса и поворота,

a а противоположно ориентированные − только с точностью до коллинеарности.

Рис.11 Легко проверить, что тройки a b c, c a b и b c a одинаково ориентированы, а

тройки a c b, b a c и c b a им противоположны. Т.е. круговая перестановка векторов не

меняет ориентацию, а не круговая – меняет.

Изменение знака у одного из векторов меняет ориентацию всей тройки.

§10. Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением векторов a и b : [a,b] называется вектор,

удовлетворяющий трем условиям:

1. Векторное произведение ортогонально своим составляющим:

2. Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:

3. Тройка векторов − правая.

Свойства векторного произведения.

Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.

1. Алгебраические свойства.

1. Антикоммутативность: .{ Первые два условия определения не зависят

от порядка векторов, но тройки a, b, и b, a, ориентированы противоположно (§9)}

2) {Доказать самим}

3) {б/д}

II. Геометрические свойства.

1) − равенство нулю векторного произведения является необходимым и достаточным условием коллинеарности. { Доказать самим }

2) − площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю векторного произведения этих векторов. {Очевидно}

Для вывода координатной формы векторного произведения поступим так же, как и в случае скалярного: .

Здесь уже использованы соотношения: и т.д.

Легко заметить, что формула векторного произведения может быть записана в виде символического определителя: .

Пример. Вычислить S_∆ABC , если даны тт. А(1,2,0), В(3,0,−3), С(5,2,6).

{ }

§11. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов a,b и c называется число, равное

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах: { Так как

то модуль проекции с на него равен h }

1. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}

3. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя

Характеристики

Список файлов лекций