Untitled2 (506257), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Уравнение прямой через две точки можно написать, взяв в качестве направляющего вектора вектор :

(#) В некоторых задачах удобно пользоваться векторным представлением прямой. В этом случае прямая задается радиус – вектором (§1) текущей точки прямой.

(рис.9)

Здесь :

M r₀ − радиус – вектор т. М₀

M₀ l = (p, q, r) − направляющий вектор прямой.

рис.9

§17. Основные задачи.

Две задачи, связанные с прямой были уже рассмотрены на примерах в предыдущем параграфе.

Задачи, связанные с вычислением углов между прямыми, прямой и плоскостью, включая условия ортогональности и параллельности, решаются с использованием направляющих векторов прямых и нормальных векторов плоскостей. Так, например, синус угла между прямой и плоскостью будет равен модулю косинусу угла между соответствующими направляющим и нормальным векторами:

Условия ортогональности и параллельности прямой и плоскости записываются следующим образом:

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами и проходящие через точки М₁ и М₂ соответственно. Прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. В двух первых случаях смешанное произведение Если же прямые скрещиваются, то

Оба условия являются необходимыми и достаточными. Так как расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, то оно может быть найдено по формуле − объем параллелепипеда

деленный на площадь основания.

Пример. Как расположены прямые и ?

Если они пересекаются – найти общую точку. Если нет – расстояние между ними.

{ прямые скрещиваются.

}

§18. Поверхности в пространстве.

Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколько специальных задач.

1. Цилиндрические поверхности.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве : F(x,y) = 0. На плоскости XOY

оно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x^*,y^*) этой кривой будет соответствовать прямая , т.е. прямая, проходящая через точку (x^*,y^*,0) и параллельная оси OZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называется цилиндром с направляющей F(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ.

Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другим координатным осям: F(x, z) = 0 и F(y, z) = 0.

Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят все переменные в явном виде. Однако, должен существовать такой поворот системы координат, после которого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.

Примеры. 1) − прямой круговой цилиндр радиуса r и осью OZ.

2) − эллиптический цилиндр с образующей, параллельной оси OY.

3) у² = 8z − параболический цилиндр с образующей, параллельной оси OХ.

§19. Поверхность вращения.

В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскости YOZ и ось вращения ОZ . Зафиксируем произвольное значение z^* и выразим из уравнения F(y, z^*) = 0 соответствующее значение у = f(z^*). При вращении, в плоскости z = z^* получится окружность

x² + y² = f ²(z^*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид x² + y² = f ²(z) (рис.10).

Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения

z F(y, z^*) = 0 относительно у совсем не обязательно, тем более,

F(y, z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

записывается следующим образом:

y

x

рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае ).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой у² = 6х вокруг осей ОХ и OY. {

}

Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.

§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, например z. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными: f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскости XOY. Любой точке этой кривой (x^*,y^*) , будет соответствовать некоторое

значение z^*, при котором точка (x^*,y^*, z^*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностей и на

плоскость YOZ. {Исключим х: гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, что верхняя ветвь, }

§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

§22. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , коэффициенты А, В и С − числа одного знака, а L имеет знак им противоположный.

При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:

где .

Для определения формы эллипсоида применим метод сечений. Пусть z = h фиксировано.

С ечение эллипсоида плоскостью z = h будет иметь вид − эллипс с данными полуосями. Отсюда следуют несколько выводов:

1) ; при h = c эллипс вырождается в точку.

2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h = 0.

3) Аналогичная картина будет иметь место в сечениях

x = h или y = h. (рис.11)

рис.11

Как и в случае эллипса, числа a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если они все разные, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы получим эллипсоид вращения (§19). В случае равенства всех полуосей – имеем сферу: .

§23. Гиперболоиды и конус.

Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , где коэффициенты А, В и С − числа разных знаков, а L – отлично от нуля. Для определенности будем считать, что А и В больше нуля, а

С – меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знака L имеем два типа гиперболоидов.

I. L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение: .

Снова воспользуемся методом сечений.

Плоскости z = h поверхность пересекает по эллипсам .

С увеличением h ( или z) полуоси эллипса увеличиваются. Минимальные полуоси будут при

h = 0 , т.е. в плоскости ХОY.

В плоскостях x = h (или y = h ) получаются гиперболы . (рис.12а)

При h < a или h > a (для y − h < b или h > b ) гиперболы ориентированы противоположно.

При h = a (h = b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосного гиперболоида прямолинейных образующих.

При a = b имеем гиперболоид вращения.

Поверхность, описываемая уравнением называется однополосный гиперболоид.

Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоиду и найти прямолинейные образующие, проходящие через эту точку. {1)1+1−1=1;2) l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2

Характеристики

Список файлов лекций