Билет №7, 11 (Ответы на экзамен 2)

5

Билет №7, 11

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Диэлектрическими потерями Р (Вт) называют ту часть энергии приложенного электрического поля, которая рассеивается в диэлек­трике за единицу времени. Эта энергия переходит в тепло, и диэлек­трик нагревается.

При недопустимо высоких диэлектрических потерях электроизо­ляционная конструкция может нагреться до температуры теплового разрушения, т.е. наступит электротепловой пробой (см. гл. 5.3.1 и 5.4.2).

Диэлектрические потери электроизоляционных материалов и кон­струкций часто характеризуют тангенсом угла диэлектрических по­терь tgδ, где δ— угол, дополняющий до 90° угол сдвига фаз между то­ком и напряжением (угол φ) в емкостной цепи (рис. 4.1):

δ= 90°-φ. (4.1)

Величина tgδ является важной характеристикой диэлектриков. Она определяет диэлектрические потери в материале: чем больше tgδ, тем более высокие (при прочих равных условиях) диэлектриче­ские потери. Для наиболее широко применяемых диэлектриков tgδ имеет значение в пределах от 0,0001 до 0,03. О величине диэлектри­ческих потерь участка изоляции и некоторых радиодеталей (конден­саторов, катушек индуктивности и т.п.) можно судить также по зна­чению их добротности Q:

Q=-1/tgδ = ctgδ = tg φ. (4.2)

Диэлектрические потери могут быть как при постоянном, так и при переменном на­пряжении. При постоянном напряжении потери обусловлены только током сквозной проводимости, и величина диэлектриче­ских потерь в данном случае зависит (об­ратно пропорционально) от значений удельных объемного и поверхностного со­противлений. При переменном напряже­нии диэлектрические потери возникают под действием как тока сквозной проводи­мости, так и релаксационных видов поля­ ризации.

Рис 4.1. Векторная диаграмма диэлектрика с потерями.

В сильных электрических полях (в постоянном и переменном) дополнительно возникают ионизационные потери.

4.2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИКА С ПОТЕРЯМИ

Чтобы изучить диэлектрические потери какого-либо материала, необходимо рассмотреть конденсатор с этим материалом в цепи пере­менного напряжения. Конденсатор с исследуемым диэлектриком, имеющий емкость С, рассеиваемую мощность Р и угол сдвига фаз ме­жду током и напряжением φ, заменим эквивалентной схемой, в кото­рой к идеальному конденсатору активное сопротивление подключено либо параллельно — параллельная эквивалентная схема, либо после­довательно — последовательная эквивалентная схема. Эти эквива­лентные схемы замещения диэлектрика с потерями должны быть вы­браны так, чтобы расходуемая в них активная мощность была равна мощности Р, которая рассеивается в конденсаторе с исследуемым ди­электриком, а ток опережал бы напряжение на тот же угол φ. Эквива­лентные схемы вводятся условно и не объясняют механизма диэлек­трических потерь. Величины емкости идеального конденсатора и активного сопротивления для параллельной и последовательной схем замещения обозначим соответственно Ср и R, Cs и r.

Параллельная эквивалентная схема замещения диэлектрика с по­терями и векторная диаграмма токов в ней представлены на рис.4.2, из которого видно, что активная составляющая тока Iа совпадает по фазе с напряжением U, а реактивная составляющая тока Ir опережает напряжение на угол, равный 90°. Значения соответствующих токов равны

I = U/Z, Ia = U/R, Ir = U/Xc = UωCp, (4.3)

где Z — полное сопротивление, Z = (Xc² + R²) ^1/2; Xс — реактивное (емко­стное) сопротивление конденсатора с диэлектриком, Xс = 1/ω Ср (ω — угловая частота).

Из треугольника токов (см. рис. 4.2, б) следует, что

tgδ = Ia/Ic = U/ RUωCp = 1/ωRCp (4.4)

Для параллельной схемы замещения, используя выражение (4.7) и векторную диаграмму токов, изображенную на рис. 4.2, б, получим

P=UIcosφ = UI sin δ = U Ir sinδ / cosδ = UIr, tgδ,

Рис. 4.2. Параллельная эквивалентная схема замещения диэлектрика с потерями (а) и векторная диаграмма токов в ней (б)

где I = Ir /cosδ (см. рис. 4.2, б).

Подставив в это выражение из (4.3) значение тока Ir получим

P = U ² ω Cp tgδ (4.8)

Для последовательной схемы замещения имеем (без вывода)

P= U² tgδ /(Xc(1+ tgδ )) P = U² ωCstgδ /(1+ tg²δ )) (4.9)

Приравняв друг к другу правые части выражений (4.8) и (4.9), (4.4) и (4.5), определим соотношения между Ср и Cs, а также между Rиr:

Cp = Cs/(1+ tg²δ )) (4-10)

R = r(1+ 1/tg²δ )) (4.11)

Для высококачественных диэлектриков значением tg²δ в сравне­нии с единицей можно пренебречь и считать, что Ср ~ Cs ~ С. Тогда величина мощности, рассеиваемой в диэлектрике, будет одинакова для обеих схем и равна

P = U²ωC tgδ (4.12)

где Р — активная мощность, Вт; U — напряжение, приложенное к конденсатору с испытуемым диэлектриком, В; С — его емкость, Ф; ω — угловая частота, с^-1 (ω = 2πf , где f - циклическая частота, Гц).

Для диэлектриков с высокими значениями tgδ при переменном напряжении емкость С и, следовательно, диэлектрическая проницае­мость ε становятся величинами неопределенными, зависящими от выбора модели эквивалентной схемы замещения. Величина же tgδ диэлектриков от выбранной схемы замещения не зависит. Она зави­сит от природы материала, частоты f напряжения и температуры Т. Поэтому в справочной литературе для каждого диэлектрика указыва­ются f и Т, при которых измерены tgδ и ε.

Из формулы (4.12) следует, что величина рассеиваемой мощности Р (диэлектрические потери) зависит от квадрата приложенного на­пряжения и его частоты, емкости и tgδ материала. Емкость, в свою очередь, зависит от ε материала, а ε и tgδ — от природы материала (химического состава и структуры) и внешних условий (температу­ры, частоты и величины напряжения, влажности среды и т.п.). Сле­довательно, все перечисленные факторы будут влиять на величину рассеиваемой мощности в диэлектриках. Из формулы (4.12) также видно, что диэлектрические потери могут приобретать существенные и даже опасные значения для диэлектриков, используемых в уста­новках высокого напряжения или высокой частоты и особенно в ус­тановках при одновременном воздействии высокого напряжения и высокой частоты.

Связь ε и tgδ и виды потерь

В электродинамике при описании взаимодействия электромагнит­ного поля с веществом часто используют величину, называемую комп­лексной диэлектрической проницаемостью:

ε = ε ' —jε ". (6.21)

Чтобы уяснить это понятие, воспользуемся одним из фундаменталь­ных уравнений электродинамики (первым уравнением Максвелла), устанавливающим связь между изменениями электрического и магнит­ного полей:

rot Н = J + Jcm = γE + εε_o ∂E/∂t (6.22)

Приведенное уравнение подтверждает тот факт, что магнитное поле отлично от нуля как при перемещении электрических зарядов (т. е. при наличии тока сквозной электропроводности через вещество), так и при изменении напряженности электрического поля во времени (т. е. при наличии тока смещения).

В однородных идеальных диэлектриках сквозной ток отсутствует, т. е. γ = 0. Для случая гармонического изменения поля уравнения (6.22) можно записать в комплексной форме:

rot H = j ω εε_o E (6.23) (курсив –комплексная величина)

Если же имеем дело с несовершенным диэлектриком, обладающим заметными диэлектрическими потерями, то уравнение полного тока приобретает более сложный вид:

rot H = ( γ_f + j ω εε_o ) E, (6.24)

где γ_f — полная удельная активная проводимость на данной частоте, учитывающая как сквозную электропроводность, так и активные сос­тавляющие поляризационных токов.

Задачу о распространении электромагнитного поля в частично про­водящей среде можно свести к случаю идеального диэлектрика, если в уравнение (6.24) ввести комплексную диэлектрическую проницае­мость:

rot H = j ω ε_o ε E (6.25)

Где ε = ε - j γ_f / ω ε_o (6.26)

Из сопоставления (6.21) и (6.26) следует, что действительная сос­тавляющая комплексной диэлектрической проницаемости ε' = ε, а мнимая

ε" = γ_f / ω ε_o

Ранее было показано, что tgδ есть отношение активной составляю­щей проводимости к емкостной составляющей (рис. 6.13,а). Поэтому для плоского конденсатора при данной частоте справедливо соотно­шение

tgδ = (γ_f S/h) / (ω ε ε_o S/h) = γ_f / (ω ε ε_o S/h) = ε" / ε^/ (6.27)

Из выражения (4.12) ясно, что диэлектрические потери име­ют важное значение для материалов, используемых в установках вы­сокого напряжения, в высокочастотной аппаратуре и особенно в высо­ковольтных, высокочастотных устройствах, поскольку значение ди­электрических потерь пропорционально квадрату приложенного к диэлектрику напряжения и частоте.

Материалы, предназначенные для применения в указанных усло­виях, должны отличаться малыми значениями угла потерь и диэлект­рической проницаемости, так как в противном случае мощность, рас­сеиваемая в диэлектрике, может достигнуть недопустимо больших значений.

Большие диэлектрические потери в электроизоляционном материа­ле вызывают сильный нагрев изготовленного из него изделия и могут привести к его тепловому разрушению. Если диэлектрик используется в колебательном контуре, то ди­электрические потери препятствуют достижению высокой добротности (острой настройки на резонанс), так как с увеличением эквивалентно­го сопротивления потерь усиливается затухание колебаний в контуре.

2.1.3. Диэлектрическая проницаемость

Относительная диэлектрическая проницаемость, или диэлектри­ческая проницаемость ε, — один из важнейших макроскопических электрических параметров диэлектрика.

Поскольку в диэлектрике невозможно свободное перемещение заряда, в глубь его способны проникать достаточно сильные внешние поля. Существуют по меньшей мере три ситуации, когда нам важно знать, что происходит с внут­ренней (электронной и ионной) структурой диэлектрика, когда на электрическое поле, отвечающее периодическому потенциалу решетки, накладывается некото­рое дополнительное электрическое поле.

1. Мы можем поместить образец диэлектрика в статическое электрическое
   поле, например в поле между пластинами конденсатора. Многие важные резуль­таты возникающих искажений внутренней структуры удается определить, исходя из статической диэлектрической проницаемости ε_о («_о« обозначает, что частота поля f=0) кристалла, вычисле­ние которой составляет одну из важных задач микроскопической теории диэлек­триков.

2. В принципе нас могут интересовать оптические свойства диэлектрика, т. е. его
   реакция на высокочастотные электромагнитные поля, связанные с электромагнитным излучением. В этом случае важно вычислить зависящую от частоты диэлектрическую проницаемость ε(ω) или, что эквивалентно, показатель преломления n = √ ε

3. В ионном кристалле даже в отсутствие приложенных извне полей наряду с периодическим потенциалом решетки могут существовать дальнодействующие электростатические силы между ионами. Такие силы возникают, когда решетка деформирована по отношению к своей равновесной конфигурации (например, если возбуждена нормальная мода колебаний). Для рассмотрения таких сил лучше всего ввести создающее их дополнительное электрическое поле, источники которого являются внутренними по отношению к кристаллу.

При обсуждении всех этих явлений наиболее удобно воспользоваться макроскопическими уравнениями Максвелла в среде. Мы начнем с рассмотрения уравнений электростатики.

Диэлектрическая проницаемость ε количественно характеризует спообность диэлектрика поляризоваться в электрическом поле, а также оценивает степень его полярности; ε является константой диэлектриче­ского материала при данной температуре и частоте электрического на­пряжения и показывает, во сколько раз заряд конденсатора с диэлектри­ком больше заряда конденсатора тех же размеров с вакуумом.

Диэлектрическая проницаемость определяет величину электри­ческой емкости изделия (конденсатора, изоляции кабеля и т.п.). Для плоского конденсатора электрическая емкость С, Ф, выражается формулой

С = εε_оS/h, (2.15)

где S — площадь измерительного электрода, м2; h — толщина ди­электрика, м.

Из формулы (2.15) видно, что чем больше величина ε используе­мого диэлектрика, тем больше электрическая емкость конденсатора при тех же габаритах.

В свою очередь, электрическая емкость С является коэффициен­том пропорциональности между поверхностным зарядом Qк, накоп­ленным конденсатором, и приложенным к нему электрическим на­пряжением U:

Qк = CU = Uε_оε S / h. (2.16)

Из формулы (2.16) следует, что электрический заряд Qк, накоп­ленный конденсатором, пропорционален величине ε диэлектрика. Зная Qк и геометрические размеры конденсатора, можно определить ε диэлектрического материала для данного напряжения.

Диэлектрическая проницаемость ε — величина безразмерная, и у любого диэлектрика она больше еди­ницы; в случае вакуума ε = 1. Плотность заряда на электродах конденсатора с диэлек­триком в ε раз больше плотности заряда на электродах конденсатора с вакуумом, а напряженности при одинаковых напряжениях для обо­их конденсаторов одинаковы и зависят только от величины напря­жения U и расстояния между электродами (Е = U/h).