Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 23

Происходит это за счет возникновения в контуре ЭДС самоиндукции. При разрядке конденсатора сила тока в цепи изменяется. Возникающая самоиндукция препятствует изменению силы тока в цепи. В результате, когда конденсатор полностью разряжен, ЭДС самоиндукции создает ток в цепи в том же направлении. Поскольку направление тока – это условное направление движения положительных зарядов в цепи, в результате явления самоиндукции конденсатор перезаряжается, так что знаки зарядов обкладок противоположны знакам зарядов в исходном состоянии (рис. 8.1, в). При этом сила тока в цепи уменьшается, энергия электрического поля конденсатора растет. Когда заряд конденсатора достигает начального (максимального) значения

то энергия электрического поля снова достигает максимума:

Определим закон изменения заряда конденсатора во времени. Поскольку полная энергия контура остается неизменной во времени, то

т.е.

Подставим в это уравнение известные формулы

Учтем, что

Отсюда получаем:

Разделим последнее уравнение на L:

Введя обозначение

где ₀ – частота собственных гармонических колебаний, получаем

Уравнение (8.3) называется дифференциальным уравнением собственных незатухающих колебаний заряда в колебательном контуре.

Решением уравнения (8.3) является функция:

где Q_m – амплитудное значение заряда конденсатора,   – начальная фаза колебаний заряда.

Период собственных колебаний колебательного контура определяется так:

С оотношение (9.5) называется формулой Томсона в честь получившего его английского физика У. Томсона (во второй половине жизни он публиковал работы под именем Лорд Кельвин).

Пользуясь (9.4), выведем закон изменения силы тока в контуре. Для этого найдем производную заряда по времени:

Из сопоставления (8.4) и (8.6) видно, что колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда по фазе на /2, а по времени – на четверть периода. Графики изменения заряда конденсатора и силы тока в колебательном контуре при  = 0 представлены на рис. 8.2.

Чтобы получить зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени, достаточно воспользоваться определением емкости:

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем в одной фазе с зарядом конденсатора. Соотношение между амплитудным значением напряжения на конденсаторе и амплитудным значением силы тока в цепи подобно закону Ома, поэтому отношение U_m/I_m называется волновым сопротивлением контура:

Проанализируем изменение энергии, происходящее в контуре при свободных колебаниях. Следующие выражения показывают, как изменяется энергия электрического поля в конденсаторе и энергия магнитного поля в соленоиде во времени при нулевой начальной фазе колебаний:

Поскольку

получаем:

Графики колебаний заряда, энергии магнитного и электрического полей представлены на рис. 8.3.

8.2. Затухающие колебания в колебательном контуре

В предыдущем параграфе мы рассмотрели процесс свободных гармонических (незатухающих) колебаний в контуре при отсутствии активного сопротивления. Проанализируем теперь колебательный процесс, происходящий в контуре при наличии омического сопротивления (рис. 8.4).

Примем положительным направление тока, при котором конденсатор заряжается. Запишем для участка цепи 2–L–1 обобщенный закон Ома:

,

где

После подстановки и преобразований получаем:

Введем обозначения

Уравнение (8.10) принимает стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний:

Как было показано в первой части курса, решением такого уравнения является функция вида

где  – частота затухающих колебаний. Если подставить это решение в (8.11), то можно определить частоту затухающих колебаний:

График затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора приведен на рис. 8.5.

Поскольку амплитуда колебаний заряда уменьшается с течением времени, затухающие колебания не являются гармоническими. Однако для них удобно ввести понятие условного периода колебаний:

Рассмотрим характеристики затухающих колебаний. Первая из них, непосредственно входящая в закон изменения колеблющейся величины, это коэффициент затухания  . Если выразить отношение амплитуд колебаний в моменты времени t = t₀ и t = t₀ + , то можно получить

Время  , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется постоянной времени. Поскольку e^ = e, то

Таким образом, коэффициент затухания обратно пропорционален времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится также понятие логарифмического декремента колебаний :

Если за время, равное NT, система совершит N колебаний, и их амплитуда уменьшится в е раз, то . Таким образом, логарифмический декремент – безразмерная величина, обратная числу колебаний N, в течение которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Затухающие колебания характеризуются величиной добротности  контура. Ввести понятие добротности можно несколькими способами. Сейчас сделаем это так: . Чтобы выяснить смысл добротности, рассмотрим энергию электрического поля контура:

Первоначальный запас энергии в контуре – это максимальное значение W_э, т. е.

Тогда скорость убывания энергии контура определится как

Следовательно, за один период энергия контура уменьшится на величину

Отношение убыли энергии контура за период к первоначальному ее запасу составляет

Отсюда

Таким образом, добротность колебательного контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к ее убыли за один период.

Проанализируем решение уравнения затухающих колебаний. Из (8.13) видно, что при условии колебания в системе не возникают. Значение максимального сопротивление контура, при котором еще возможно возникновение колебаний, называется критическим сопротивлением R_кр. Оно определяется из условия ₀ =  :

Если же колебания возникли, то нетрудно увидеть, что их период будет больше периода незатухающих колебаний:

Если колебания заряда конденсатора осуществляются по закону (8.12), то колебания напряжения на обкладках конденсатора подчиняются зависимости

т.е. происходят синфазно с колебаниями заряда.

Закон колебаний силы тока в контуре найдем следующим образом:

Из (8.13) следует, что , поэтому при умножении (8.18) на равенство не нарушается:

Введем обозначения

тогда

Полученное соотношение показывает, что колебания тока опережают колебания заряда по фазе на  . Причем, так как cos   < 0 , sin   > 0, то

Ранее мы обнаружили, что при незатухающих колебаниях разность фаз колебаний тока и заряда составляла /2. Теперь мы видим, что при наличии затухания в контуре сдвиг фаз увеличивается. Если затухание в контуре невелико, т.е. , то . В этом случае логарифмический декремент будет равен

а добротность контура

т.е. добротность контура равна отношению волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению.

8.3. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС (рис. 8.6), изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой  :

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, для чего запишем закон Ома для участка цепи 2–L–1:

iR = ₂ – ₁  + E_s + E ,

где iR – падение напряжения на резисторе контура; ₂–₁ – разность потенциалов между точками 2 и 1; E_s – ЭДС самоиндукции катушки индуктивности; E – вынуждающая электродвижущая сила (в дальнейшем можно обозначить U), причем

После подстановки и преобразований получаем:

Если обозначить

то уравнение (8.20) приводится к виду:

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Как было показано в первой части курса, решением такого уравнения является функция вида