183937 (Экономико-математическое моделирование)

1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Решение:

Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число α_i = min (α_i1, α_i2, α_i3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой α_ij имеет максимальное значение – α = max(α₁, α₂, α₃) – это нижняя цена игры.

Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число β_j = max(α_1j, α_2j, α_3j) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В_j. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β ₁, β ₂, β ₃) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.

Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А₁, для игрока В оптимальная стратегия – В₁.

Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А₁, В₁).

Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы

2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей

Решение:

Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.

Если игрок А выбирает стратегию А₁, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q₁, q₂), будет проигрывать, в среднем, q₁∙α₁₁+q₂∙α₁₂ = q₁∙(-3) +q₂∙(-4). Отметим на оси ОУ α₁₁ = -3, а на оси ей параллельной α₁₂ = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А₁, а В чередует стратегии В₁ и В₂ с некоторыми вероятностями (q₁, q₂). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А₂. Точно также для А₃ и А₄.

Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А₃КА₂, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А₃ и А₂. Выпишем уравнения этих прямых.

Прямая (А₃ А₃) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:

Уравнение прямой (А₂ А₂), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:

Рисунок 1 –Графическое решение

Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:

Решение системы:

Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:

Для игрока А, стратегии А₁ и А₄ будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А₂ и А₃. Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А₁ и А₄ не активные стратегии, то есть р₁ = р₄ = 0:

Ответ: Цена игры ν = 0, оптимальные стратегии игроков

3. Решить геометрически следующую задачу линейного программирования:

при ограничениях:

Решение:

Построим область ограничений. Строим прямую (1): x₁ – 4x₂ - 4 = 0 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют уравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству , для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство, получим - выполняется. Аналогичным способом строим прямые (2): и (3): , выделяем «бородой» области значений x₁, x₂, удовлетворяющие условиям и . На рисунке 2 изображена область, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что и одно из неравенств системы - , тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала , но , тогда F_max = .

Ответ: F_max = .

Рисунок 2 – Графическое решение

4. Для выпуска двух видов продукции А и В предприятие использует 4 вида ресурсов, все данные представлены в следующей таблице:

Прибыль от реализации единицы продукции А и В составляет 50 и 70 ДЕ, соответственно. Предприятие может нанять людей на работу, а увольнять людей не разрешается. Составить план выпуска продукции, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Сколько человек придется нанять?

Решение:

Обозначим x₁, x₂ – число единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. По условию для их изготовления потребуется (1∙ x₁ + 3∙ x₂) единиц ресурса «Рабочая сила», (6∙ x₁ + 3∙ x₂) единиц ресурса «Сырье», (2∙ x₁ + 5∙ x₂) единиц ресурса «Оборудование», (2∙ x₁ + 2∙ x₂) единиц ресурса «Производственные ресурсы». Так как потребление всех этих видов ресурсов не должно превышать наличие ресурсов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

где а ≥ 3 и а – целое число (количество работников).

Суммарная прибыль стремиться к максимальному значению:

Все значения x₁ и x₂ лежат в I четверти, а функция F – луч, исходящий из точки (0; 0) под углом α к оси ОX₁, где т.е. - функция прибыли F. Строим графическое решение для неравенств (2): , (3): , (4): , как это показано на рисунке 3.

Максимально возможная прибыль из графического решения в точке К, координаты которой находим из системы:

С учетом, x₁, x₂ – целые числа (только конечный продукт можно продать и получить прибыль), находим: при х₁ = х₂ = 2 возможно получение максимальной прибыли Подставив х₁ = х₂ = 2 в неравенство (1): , получим ,т.е. а = 8. Необходимо дополнительно нанять 8 – 3 = 5 человек.

Ответ: Максимально возможная прибыль 240 ДЕ возможна при производстве изделий А – 2шт. и изделий В – 2 шт., при этом придется дополнительно нанять 5 работников.

Рисунок 3 – Графическое решение

5. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов по продаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Решение:

Система может находиться в четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния (быть занятым или свободным). Пусть S₀ – оба аппарата заняты; S₁ – 1-ый занят, 2-ой свободен; S₂ – 1-ый свободен, 2-ой занят; S₃ – оба аппарата свободны. Построим граф состояний, отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы из состояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S₀ в S₃ возможен либо через S₁, либо через S₂, либо напрямик, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 – Граф состояний аппаратов по продаже билетов

6. Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.

Решение:

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова, составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующему правилу: