183875 (Прогноз годовой прибыли)

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Принятые в таблице обозначения:

• Y — средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

• X₁ — ВВП в паритетах покупательной способности;

• X₂ — цепные темпы прироста населения, %;

• X₃ — цепные темпы прироста рабочей силы, %;

• Х₄ — коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 — 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

1. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

2. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y.

3. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1.С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция » строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис » «Анализ данных…» «Корреляция »). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полями¹. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.

рис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х₂–Х₃ (выделен жирным шрифтом). Факторы Х₂–Х₃ таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х₂–Х₃ являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х₂ имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х₃: r_y,x2=0,72516; r_y,x3=0,53397; |r_y,x2|>|r_y,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х₂ на изменение Y. Фактор Х₃, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y, X₁, X₂, X₄) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3). Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» «Анализ данных… » «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2.

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2. Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2):

ŷ = 75.44 + 0.0447 · x₁ - 0.0453 · x₂ - 0.24 · x₄

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571·10^-45 (см. «Значимость F» в табл. 2), что существенно ниже принятого уровня значимости =0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х₁ ниже принятого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х₂ и Х₄ превышает принятый уровень значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁,X₂,X₄)

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₁, X₂, X₄)

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

• факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

• факторы, у коэффициентов которых t‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х₁ ко второй — фактор X₄. Фактор X₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X₁, X₄.