183589 (Особенности решения задач в эконометрике)

Задание 1.

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:

х - выпуск продукции, тыс. ед.;

у - затраты на производство, млн. руб.

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;

2. Построить модели:

1. Линейной парной регрессии;

2. Полулогарифмической парной регрессии;

3. Степенной парной регрессии; Для этого:

1. Рассчитать параметры уравнений;

1. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;

2. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибки аппроксимации;

3. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом;

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования;

1. По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;

2. Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;

3. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости =0,05 определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

1. Строим поле корреляции.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах^b.

Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1 Модель линейной парной регрессии

2.1.1 Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх.

Строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

Параметры a и b уравнения

Y_x = a + bx

определяются методом наименьших квадратов:

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Уравнение регрессии:

=11,591+0,871x

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.

Средние квадратические отклонения:

Коэффициент корреляции:

Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.

2.1.3 Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.

Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А_i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F- критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим полученное уравнение.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.