Здесь через и обозначены соответственно искомые количества производимых продуктов первого и второго видов, через - количество приобретаемых дополнительных машин для переработки сырья первого вида и через - число часов сверхурочной работы. Целевая функция представляет собой величину суммарного дохода. Первое ограничение связано с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья первого вида, второе - с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья второго вида, третье ограничение и условие неотрицательности переменных самоочевидны.

Задача 5

Для обеспечения нормальной работы оборудования необходимо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна , потребность в ней есть случайная величина , имеющая показательный закон распределения с параметром . Использование j-ой детали позволяет получить прибыль . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток составляет . Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?

Решение

Пусть - количество закупленных деталей j-го вида. Так как потребность в этих деталях равна , то доходы и издержки определяются в зависимости от соотношения между величинами и :

Значит, прибыль от деталей j-го вида можно определить следующим образом:

Но так как - величина случайная, то и прибыль – тоже случайная величина. Следовательно, мы должны максимизировать не саму прибыль, а ее математическое ожидание

.

Здесь

-

плотность распределения случайной величины . Тогда

.

Общая ожидаемая прибыль вычисляется как сумма математических ожиданий прибылей от деталей всех видов. Ограничения задачи связаны с невозможностью превысить сумму, выделенную на закупку деталей. Кроме того, из характера переменных вытекают условия их неотрицательности и целочисленности. В результате получаем следующую математическую модель:

Задача 6

Фирма А производит некоторый товар, который имеет спрос в течение n единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент i (i=1,…,n). Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна Д, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j (j=1,…,n). Ее цель – разорение первой фирмы, после чего ей будет легко, опираясь на капитал D, наверстать упущенное. Для этой цели проще всего продавать товары по пониженной цене. Однако имеются законы (соглашения), запрещающие поступать подобным образом. В этом случае единственным законным инструментом этой фирмы является выбор момента поступления товара на рынок. Будем считать, что качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга – чем позднее товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше, а реализуется только товар высшего качества. Каждая фирма должна заранее готовить свое производство к выпуску и продаже товара в выбранный период времени. А чтобы разорить первую фирму, вторая фирма должна минимизировать ее доходы

Решение

Налицо столкновение интересов двух фирм - А и В. Наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования их поведения является теория игр.

Изложенная в условии задачи ситуация конкуренции двух одинаковых фирм является антагонистическим конфликтом. Для построения математической модели этого конфликта - конечной антагонистической игры - примем за игроков 1 и 2 соответственно фирмы А и В. Очевидно, что множества чистых стратегий игроков 1 и 2 - это множества : фирма А выбирает i-ый момент поступления товара на рынок, стараясь максимизировать свой доход, а фирма В выбирает j-ый момент, преследуя прямо противоположные цели - минимизировать доход фирмы А.

Обозначим через c доход от продажи товара в единицу времени. Тогда, если фирма А выбрасывает свой товар в момент i, а фирма В - в момент j>i, то фирма А, не имея конкурента в течение j-i единиц времени, получит за это время доход c(j-i). В момент времени j на рынке появляется товар фирмы В, который имеет более высокое качество. Поэтому с момента j фирма А теряет рынок и в дальнейшем дохода не получает. Если же i>j, то фирма А, выбросив на рынок более качественный товар, будет получать доход в течение всего отрезка [i,n]. Так как число оставшихся единиц времени равно n-i+1, то доход фирмы А будет равен c(n-i+1). В том случае, когда i=j, т.е. на рынок одновременно поступают оба товара, эти товары имеют одинаковый спрос, и поэтому фирма А получит доход, равный . В результате функцию выигрыша игрока 1 можно представить в следующем виде:

Получаем матричную игру , определяемую матрицей .

Задача 7

Автотранспортная компания для перевозки грузов располагает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 - 2 т, машина 2 и машина 3 - по 5 т, машина 4 - 8 т. Для каждой автомашины известна стоимость ее эксплуатации за день: для машины 1 - 15 единиц, для машины 2 - 20 единиц, для машины 3 - 19 единиц, для машины 4 - 30 единиц. Необходимо в течение одного дня развести грузы четырем получателям. В книжный магазин нужно доставить груз весом в 1 т, в мебельный магазин - в 3 т, в фермерское хозяйство - в 5 т и на сталелитейный завод - в 8 т. Предположим, что одна и та же машина не может доставлять груз в книжный или мебельный магазин и на ферму. Требуется так назначить автомашины для доставки всех грузов, чтобы суммарные затраты были минимальными.

Решение

Задачу минимизации суммарных затрат на перевозку грузов можно записать как задачу математического программирования:

Здесь через x_ij обозначен факт поставки i-му потребителю груза j-ой машиной, т.е.

Все получатели грузов пронумерованы: 1 - книжный магазин, 2 - мебельный магазин, 3 - фермерское хозяйство, 4 - сталелитейный завод. Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые четыре ограничения связаны с необходимостью доставить получателям нужное им количество груза, следующие - с невозможностью одновременного использования одной машины на некоторых маршрутах.

Задача 8

Пусть экономика представлена двумя отраслями народного хозяйства, каждая из которых выпускает свою продукцию и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. Валовый продукт каждой отрасли за год распределяется соответственно на конечный продукт и производственное потребление, причем в процессе производства данной отрасли может применяться продукция обеих отраслей. Известно, что потребление одной отраслью продукции другой пропорционально объему валового выпуска первой из них. Конечный продукт обеих отраслей делится на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление. Без учета амортизационных отчислений, можно считать, что валовые капитальные вложения из одной отрасли в другую каждый год пропорциональны приросту валовой продукции второй отрасли.

Определить, как должна функционировать рассматриваемая экономическая система во времени.

Решение

Заметим, что поскольку критерий оптимальности в задаче не задан, то математическая модель будет описательной. Обозначим через валовую продукцию отрасли i в год t, через - ее конечный продукт в год t, а через - производственное потребление отраслью i продукции отрасли j в год t (все величины здесь и далее выражены в стоимостном эквиваленте). Из условия задачи следует

.

Пусть - норма затрат продукции j-ой отрасли на производство единицы продукции i-ой отрасли. Тогда

.

Обозначив - валовые капитальные вложения отрасли i в отрасль j в год t, - непроизводственное потребление отрасли i в год t, получим

.

Пропорциональность валовых капитальных вложений приросту валовой продукции запишем в виде

.

Окончательно, получаем двухпродуктовую модель экономики

.

Задавая в начальный момент и предполагая известными во времени потребления , i=1,2, видим, что задача развития экономики, заданной двумя отраслями, сводится к системе линейных неоднородных уравнений.