Задача 1

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти:

сортом А в количестве 10 единиц,

сортом В — 15 единиц.

При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М).

Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу.

Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Решение

"выгодность" -- получение максимального дохода от реализации продукции

"выбор (принятие) решения" состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить.

Обозначим неизвестные величины:

х_i—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Для вектора х=(х₁,х₂,х₃),

выручка завода равна (32х₁+15х₂ +12х₃) долл.

Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).

Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего процессов.

Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А:

для сорта В: ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно.

Математическая модель

Найти такой вектор х = (х₁,х₂,х₃), чтобы

максимизировать f(x) =32х₁+15х₂ +12х₃

при выполнении условий:

.

Сокращенная запись:

Получили задачу линейного программирования.

Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

На дом

Пример. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Обозначим известные параметры задачи:

n — число разновидностей ценных бумаг;

а_j — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги

_j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:

y_j — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как

Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, х_i — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.

Содержательно риск — это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией.

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.

Математическая модель

min

при ограничениях

Получили модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Задача 2

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и, после соответствующей обработки, поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. В качестве ингредиентов рассмотрим три: известняк, зерно и соевые бобы. Требования к питательности рациона сформулируем, учитывая три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, ни клетчатки.

Смесь должна содержать:

1. не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;

2. не менее 22% белка;

3. не более 5% клетчатки.

Требуется определить для птицеводческой фермы количество (в фунтах) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Решение

Введем следующие обозначения:

x₁- содержание известняка (в фунтах) в смеси,

- содержание зерна (в фунтах) в смеси,

- содержание соевых бобов (в фунтах) в смеси.

В качестве (минимизируемой) целевой функции выступает общая стоимость смеси, определяемая по формуле .

Минимальный общий вес смеси, еженедельно расходуемой на кормление 20000 цыплят равен 20000 фунтов. Так как , и представляют веса трех ингредиентов, используемых для составления смеси, то общий вес смеси будет равен , причем эта сумма не должна быть меньше 20000 фунтов.

Теперь обратим внимание на требования, предъявляемые к смеси с точки зрения питательности. Так как общий расход кормов равен , то содержание кальция должно находиться в пределах от 0,008 до 0,012 . В соответствии с таблицей исходных данных содержание кальция, обусловленное включением в смесь фунтов известняка, фунтов зерна и фунтов соевых бобов, равно . Отсюда следует, что ограничения, связанные с содержанием кальция в кормовом рационе, можно представить в следующем виде:

1. смесь должна содержать не менее 0,8% кальция:

1. смесь должна содержать не более 1,2% кальция:

Эти ограничения можно записать в более простой форме, объединив в левых частях неравенств члены, содержащие , и :

Аналогично записываются условия по оставшимся питательным веществам.

Окончательная математическая формулировка задачи может быть представлена в следующем виде:

Задача 3

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления.

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Решение.

Пусть - недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. Тогда объемы производства каждого из трех комплектующих узлов будут равны

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, то количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален. Поэтому количество конечных изделий можно выразить через число комплектующих узлов следующим образом:

Условия рассматриваемой задачи устанавливают ограничения только на фонд времени, которым располагает каждый завод. Тогда математическую модель можно представить в следующем виде:

Задача 4

На предприятии производятся два вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производство единицы продукта 2 (второго вида) - доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов, которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида - 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.

На предприятии принимается решение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.

Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно. Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышение затрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, дополнительно не приобретаются.

Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

Решение

Задачу максимизации дохода от выпуска продукции можно записать как задачу математического программирования: