183447 (Динамика урожайности зерновых), страница 2

х_t = а₀ + cos ₊ sin + E (3)

Здесь х_{t -} фактические значения урожайности; a_t, b_t - амплитуды t-й гармоники; Т₁ - период гармоники; t - текущее время; m - количество главных гармоник.

По нашим оценкам, самыми существенными являются первые три гармоники. Значения параметров t-й гармоники (і = 1, 2, 3,... m) последовательно определялись из условия минимума функционала погрешности модели

Ψ = min (4)

Используя линейный метод наименьших квадратов в комбинации с полным перебором значений периодов, мы выполнили полигармонический анализ временных рядов урожайности озимой пшеницы для каждой из 25 областей Украины. Результаты исследований приведены в таблице 2. Анализ показывает, что для большинства областей Украины характерны циклы с периодами 16-20 лет и 3,9-4,0 года. Короткий цикл несвойственен для девяти областей Западного региона ("атлантической группы"); объяснить этот феномен можно тем, что они расположены в зоне влияния Атлантики. Поскольку метеорологическим процессам обычно несвойственна цикличность (за исключением годового цикла), их воздействие приводит к хаотизации динамики зернопроизводства в соответствующих областях. Климат остальных 16 областей ("континентальной группы") является в большей степени континентальным, и потому здесь четче выделяются циклы, имманентные процессу зернопроизводства.

Что касается цикла средней продолжительности, то период наблюдений недостаточно долог для того, чтобы считать этот цикл статистически достоверным. Однако тот факт, что данный цикл наблюдается во всех областях, позволяет с определенными оговорками считать его существование статистически обоснованным. Говоря о среднем цикле урожайности, нельзя не вспомнить библейскую легенду об Иосифе, который предсказал, что поначалу будут 7 урожайных лет, а затем настанут 7 голодных.

Таблица 2

Периоды циклов урожайности озимой пшеницы для областей Украины

Продолжительность самого длинного цикла для разных областей меняет ся от 54 до 167 лет. Такой разброс может быть объяснен как недостаточной длиной ряда наблюдений, что не позволяет установить значения периода с удовлетворительной надежностью, так и различиями в почвенно-климатических характеристиках областей. Дополнительной проверкой адекватности гармонической модели является критерий устойчивости. Если гармоническая модель адекватно отображает истинную динамику урожайности, периоды основных гармоник не должны зависеть от периода наблюдений. Мы провели расчеты значений периодов основных гармоник, изменяя продолжительность периода наблюдений от 43 до 53 лет. Расчеты показали, что период третьей (самой короткой) гармоники практически неизменен, период второй гармоники стабилизируется с увеличением периода наблюдений, период первой гармоники увеличивается с увеличением продолжительности наблюдений, что ставит под сомнение ее достоверность. Учитывая этот факт, а также и то, что период первой гармоники превосходит продолжительность периода наблюдений, мы можем рассматривать первую гармонику только в качестве трендовой модели временного ряда урожайности.

Гармоническая модель позволяет выделить регионы синхронных колебаний урожайности. В качестве меры сходства колебаний берем начальную фазу 1-го цикла = arctg (a_t / b_t).

Те 16 областей, которым свойственен 4-летний цикл урожайности, можно разделить на две группы: первая группа включает Винницкую, Черкасскую, Полтавскую, Сумскую, Черниговскую, Донецкую и Запорожскую области, во вторую группу входят Одесская, Николаевская, Херсонская, Днепропетровская, Кировоградская, Киевская, Харьковская, Луганская области и АР Крым. Колебания урожайности в обеих группах происходят почти в противофазе (рис.4).

Рис. 4. Фазовая диаграмма короткого цикла урожайности для областей "континентальной группы". Для большей наглядности все амплитуды принимались условно равными 1.

Вопрос о причинах возникновения циклов является труднорешаемым в силу сложной природы системы зернопроизводства. Большинство исследователей считает причиной цикличности урожайности цикличность природно-климатических условий. Сравнивая результаты исследований А. Олейника для Харьковской области и результаты, полученные нами, можно заметить тесную связь между цикличностью урожайности зерновых и цикличностью гидротермического коэффициента (ГТК), рассчитанного с момента возобновления вегетации к концу второй декады июня. Продолжительность среднего цикла в динамике ГТК составляет 16,7 года, короткого цикла - 4 года. Согласно нашим исследованиям, циклы урожайности озимой пшеницы составляют 16,1 и 3,9 года.

Используя статистические данные, мы исследовали явления цикличности урожайности зерновых для СССР и США. Выделив тренд из ряда урожайности озимой пшеницы в США (1866-2007 гг.) и исследовав ряд остатков методами корреляционного и гармонического анализа, мы установили наличие четко выраженного цикла средней продолжительностью 14 лет и менее заметного короткого цикла продолжительностью 6-7 лет. Исследование ряда урожайности зерновых для СССР (1946-1991 гг.) позволило выделить средний цикл продолжительностью 18-19 лет и короткий цикл продолжительностью 2,5 года. Следовательно, можно утверждать, что цикл средней продолжительности (от 14 до 19 лет) характерен для динамики урожайности зерновых, независимо от природно-климатических условий территории. Короткий цикл урожайности проявляется достаточно четко в Степной зоне Украины, но менее заметен для данных по СССР и США. Это можно объяснить тем, что на отдельных участках обширных территорий его значения разнятся. Для сравнения отметим, что исследованиями выявлено существование регулярных циклов валового урожая зерновых в США продолжительностью от 5 до 8 лет (для данных за период с 1866 по 1926 г).

Построенную выше трехгармоническую модель используем для прогнозирования урожайности. Однолетний прогноз получим путем экстраполяции трехгармонического тренда

(5)

Результаты прогнозирования урожайности озимой пшеницы на 2009 г. приведены в таблице 3. Укажем, что абсолютная погрешность прогноза - более объективный критерий, чем относительная, поскольку последняя может становиться необоснованно большой при низких значениях урожайности. Чтобы найти среднее значение относительной погрешности, мы применили следующую методику. Сначала выводилось среднее значение модуля абсолютной погрешности прогнозирования за ряд лет. Разделив его на среднее значение фактической урожайности за исследуемый период, мы получали среднее значение относительной погрешности прогнозирования. Алгоритм оценки погрешности прогнозирования урожайности имеет следующий вид:

1. Начальный ряд урожайности разделяем на две части - обучающую выборку (большая часть ряда) и контрольную выборку (остальные элементы ряда). Первый элемент контрольной выборки используется для оценки погрешности прогноза.

2. На базе обучающей выборки (43-52 года) строим модель и выполняем прогноз на 1 год вперед. Определяем абсолютную погрешность прогноза.

3. Прогнозирование выполняем в рамках двух моделей - полигармонической и модели ARIMA. Последнюю - классическую в прогнозировании временных рядов - мы использовали для сравнительной оценки точности нашей модели. Вид модели ARIMA подбираем так, чтобы добиться максимальной точности прогноза. Этому критерию отвечает модель ARIMA (1,1,1).

4. Первый элемент контрольной выборки присоединяем к обучающей выборке.

5. Повторяем пункты 2-4 до тех пор, пока в контрольной выборке не останется ни одного элемента.

6. Определяем среднюю относительную погрешность трехгармонической модели и среднюю относительную погрешность модели ARIMA.

Расчеты показали, что полигармоническая модель дает более высокую точность прогноза в 18 областях из 25, причем в Степной зоне, которой принадлежит основной вклад в обеспечение страны зерном. Значения средней погрешности прогноза за период 1998-2007 гг. для областей Украины приведены в таблице 3. Полигармоническая модель динамики урожайности позволяет выполнять прогнозы с горизонтом больше 1 года. Есть основания считать, что система зернопроизводства принадлежит к классу систем с хаотичной динамикой ¹⁵. Для таких систем горизонт прогнозирования принципиально ограничен в силу ляпуновского расхождения фазовых траекторий. Полученная нами оценка старшего показателя Ляпунова L₁ = 0,27 позволяет установить максимальный горизонт прогнозирования урожайности сроком 4 года.