1 (шпора)

1. Операции над векторами (сложение и умножение на число). Базис. Доказать, что люб. вектор представ. в виде лин комб базисных векторов, причем однозначно. Координаты вектора в данном базисе.

Вектор- направленный отрезок. Характ. числовым значением и направлением. В геометрии векторы счит. свободными. Нулевой вектор – у которого начало и конец совпадают. Конгруэнтный – вектор, полученный переносом первого. Коллинеарные – если два вектора лежат на параллельных прямых. Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях – компланарные.

Суммой двух векторов а и b будет с, начало которого совпадает с началом а, а конец с b (если начало а и b совпадают). Произведение вектора l на число λ называется вектор λl: |λl| = |λ|*|l|; λl||l, направление зависит от знака λ. Разность векторов а и b есть вектор с: с+b =a, => c=a-b; c=a+(-b). Орт вектора – единичный вектор e = a/|a|.

Свойства линейных операций: 1) l₁+l₂=l₂+l₁ (коммутативное). 2) (l₁+l₂)+l₃ = l₁+(l₂+l₃) (ассоциативное). 3) θ+l = l. 4) λ(l₁+l₂) = λl₁ + λl₂.

5) (λ₁+λ₂)l = λ₁l+λ₂l.

Базис – любая пара векторов, взятых на плоскости, отложенных от одной точки и не лежащих на одной прямой.

Теорема: 1)Любой вектор l можно представить: l = xl₁+yl₂+zl₃ (доказ. с помощ. пар-да). 2) Такое представление единственно. Пусть

l = xl₁+yl₂+zl₃ и l = x₁l₁+y₁l₂+z₁l₃. Вычтем из 2ого 1ое ур-е: θ=(x-x₁)l₁+(y-y₁)l₂+(z-z₁)l₃. Пусть хотя бы одно из равенств ≠ 0. Тогда поделим на(x-x₁):

l₁ = (y₁-y)/(x-x₁)*l₂+(z₁-z)/(x-x₁)*l₃. По опр. сложения векторов и умножения их на число, имеем что правая часть – вектор, леж в плоск. l₂ и l₃. Имеем, что и l₁ лежит в этой плос-ти. Но это противоречит условию(определение базиса). Ч.Т.Д

Для любого вектора l, взятого из V³ его координатами базиса называются такие x, y, z, что

l = xl₁ + yl₂ + zl₃.

2. Доказать, что операции сложения и умножения числа на вектор приводят к аналогичным операциям над столбцами координат.

l = xl₁ + yl₂ + zl₃,

R³ множество всех(x,y,z)^T

1. Сложение:

2. Умножение числа на столбец:

Умножение и сложение векторов соответствуют аналогичным операциям над столбцами:

l₁ = x₁e₁ + y₁e₂ + z₁e₃; l₂ = x₂e₁ + y₂e₂ + z₂e₃;

l₁ + l₂ = (x₁+x₂)e₁ + (y₁+y₂)e₂ + (z₁+z₂)e₃

Доказано, можно заменить геометрические операции над векторами операциями над столбцами.

3. Правые и левые наборы векторов; правый ортонормированный базис. Проекции векторов. Доказать, что проекция суммы векторов равна сумме проекций; доказать аналогичное относительно произведения числа на вектор.

Пару векторов l₁ и l₂ называют правой, если ближ. поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки. Иначе пара левая. Тройку l₁, l₂ и l₃ называют правой, если смотреть с конца l₃ на плоскость l₁ и l₂, то ближ. поворот от l₁ к l₂ идет против часовой стрелки. Иначе тройка левая.

l₁называют проекцией l на плоскость П, если концы l₁ получены проектированием точек l на П.

l₁называют проекцией l на прямую L, если концы l₁ получены проектированием точек l на L.

Свойства проекций:

1) Pr_П(l₁+l₂) = Pr_Пl₁ + Pr_Пl₂. Док-во: Складываем векторы по правилу пар-ма. Проектируем получ. пар-м на пл-ть. Проекция пар-ма есть снова пар-м.

2) Pr_П(λl) = λ Pr_Пl; Pr_L(λl) = λ Pr_Ll

Доказательство очевидно из подобия тр-ков.

Пусть φ - угол, образованный вектором a с осью l. Тогда Pr_la = |a|*cosφ .

4. Свободные векторы и операции над ними (сложение и умножение числа на вектор).

Свободным вектором называется совокупность всех векторов, полученных из 1 вектора путем переноса во все точки прост-ва.

Операции над свободными векторами:

1) Сложение. Фиксируем т.О и от нее откладываем векторы. Сложим векторы, а получ. рез-т перенесем во все точки прост-ва. 2) Умножение. Фиксируем т.О, проводим через нее прямую и откладываем от точки вектор. Полученный вектор умножаем на скаляр, а рез-т переносим во все точки прост-ва.

5. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов, лежащих на одной прямой. Вывод равенства (u, v) = (Pr_Lu, v), где вектор v лежит на прямой L. Свойства линейности скалярного пр-я. Выражение скалярного пр-я в ортонормированном базисе. Длины векторов и углы между векторами.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов u и v, отложенных от одной точки, называется произведение их длин на cos угла между ними. Если один из вект. нулевой,то (u,0)=θ. Если векторы перпендикулярны друг к другу, то их скалярное пр-е равно 0.

(u, v) = |u||v|cosφ.

Свойства:

1) Симметричность: (u, v) = (v, u);

2) Оба вектора лежат на одной прямой: .

В этом случае скалярное пр-е равно произведению координат векторов: (u, v) = ab. Док-во:

Пусть a>0 и b>0. Здесь u и v сонаправлены с l: (u,v)=|u||v|cos0 = ab; Если a>0, b<0, тогда (u,v) = |u||v|cos180˚=a(-b)(-1)=ab.

3) (u, v) = (Pr_Lu, v). Док-во:

Пусть , b≥0.

Pr_Lu= u’, u' = b'e; (u, v) = |u||v|cosφ = |u| cosφ b;

|u|cosφ = b’; (u, v) = b’*b=(u’, v) = (Pr_Lu, v). (Использовано св-во 2).

4) (u₁+u₂, v) = (u₁,v) + (u₂,v); (λu,v) = λ(u,v), λ из R.

Док-во:

Имеем (u₁+u₂, v)= (Pr_L(u₁+u₂), v) = (Pr_Lu₁+Pr_Lu₂, v) =

= (Pr_Lu₁,v)+ (Pr_Lu₂,v) = (u₁,v) + (u₂,v). Ч.т.д.

(a+b)c = ac + bc

Скалярное пр-е векторов есть сумма пр-й их одноименных координат.

u = x₁i+ y₁j+ z₁k; v = x₂i+ y₂j+ z₂k;

(u,v) = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. Док-во:

(u,v) = (x₁i+ y₁j+ z₁k, x₂i+ y₂j+ z₂k) = x₁x₂ (i,i)+ +x₁y₂(i,j)+….+z₁z₂ (k,k); (i,i) =(j,j) =(k,k) = 1;

(i,j)= (j,k)= (i,k)= 0. Имеем:

(u,v) = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. Ч.т.д.

Вычисление длины векторов и угла между ними:

1) u = xi+ yj+ zk; (u,u) = |u|²; |u| = √(u,u).

2) u = x₁i+ y₁j+ z₁k; v = x₂i+ y₂j+ z₂k

6. Векторное произведение векторов, его антисимметричность, линейность по каждому из векторов. Выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется вектор w со след. св-вами:

w = u ^x v

1) |w| - численно равняется площади пар-ма.

2) w ортогонален к u и к v. 3) u, v , w – правая.

Если u и v коллинеарны, то по опред. векторное пр-е равно нулевому вектору 0.

Свойства векторного пр-я:

1) u ^x v = -v ^x u (антисимметричность)

2) (u₁+u₂) ^x v = u₁ ^x v + u₂ ^x v; (λu) ^x v = (u ^x v)

3) i, j, k – правая. Тогда i ^x j=k; j ^x k=i; k ^x i=j. (Свойство циклической перестановки).

4) u = x₁i+ y₁j+ z₁k; v = x₂i+ y₂j+ z₂k;

u ^x v= (x₁i+ y₁j+ z₁k) ^x ( x₂i+ y₂j+ z₂k)= x₁x₂ (i ^x i)+ +x₁y₂(i ^x j)+….+z₁z₂ (k ^x k) = (x₁y₂ – y₁x₂)k +… =

7. Определение матриц второго и третьего порядка. Смешанное произведение тройки вектров; выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе. Связь с объемом параллелепипеда. Смешанное произведение компланарной тройки векторов.

Матрицей второго порядка называют таблицу, сост. из чисел:

Определителем (детерминантом) матрицы называют det A= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Свойства определителей:

det A=0 если 1) один из столбцов (строк) получ. из другого умножением на нек-рое число; 2) если есть нулевая строка (столбец); 3) если одна из строк является лин. комбинацией остальных.

Матрицей третьего порядка называется таблица чисел:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₃a₂₁a₃₂+a₁₂a₂₃a₃₁-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂- -a₁₂a₂₁a₃₃; det E= 1;

Смешанным произведением тройки векторов называется число (u₁, u₂ ^x u₃). (u₁,u₂,u₃) – обознач.

1. Теорема:

u₁= x₁i+ y₁j+ z₁k; u₂= x₂i+ y₂j+ z₂k; u₃= x₃i+ y₃j+ z₃k.

Док-во:

(u₁,u₂,u₃) = (u₁, u₂ ^x u₃);

по определению det.

2. Пусть u₁, u₂, u₃ – компланарны. Тогда (u₁,u₂,u₃) = 0, т.к. u₂ ^x u₃ – перпендикулярен u₁.

Теорема:

3. Для некомпланарной тройки (u₁,u₂,u₃) = +-V, где V – объем пар-да, постр. на этих векторах. Док-во:

V – пл.осн.*Н = пл.осн.*|u₃|*cosα= |u₁^xu₂|*|u₃|*cosα= = (u₃, u₁^xu₂) = (u₃, u₁,u₂). Из опр. смеш. пр-я, при перестановке 2 векторов пр-е меняет знак:

(u₁,u₂,u₃) = (u₃, u₁,u₂). Ч.т.д.

8. Координаты точек на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками, углы между отрезками, площадь пар-ма, объем пар-ма.

OM = xi + yj + zk; M = (x, y, z)

OM = xi + yj; M = (x, y)

1) Вектор с заданными концами:

A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂)

OA₂= OA₁ + A₁A₂; A₁A₂ = OA₂ – OA₁;

A₁A₂= ai+bj+ck; A₁A₂ = (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁).

2) Расстояние между точками:

d (A₁,A₂)= | A₁A₂|=

3) Угол между отрезками:

A₁, A₂; A₀(x₀,y₀,z₀); φ= A₀A₁, A₀A₂

4) Площадь пар-ма:

A₁, A₂, A₀

пл.П= |A₀A₁ ^x A₀A₂|=

5) Объем пар-да:

A₀, A₁, A₂, A₃. Если 4 точки лежат на одной плос-ти, то V= 0.

9. Деление отрезка в данном отношении.

A₁A₂; P₁/P₂; P₁>0; P₂>0; A₁B/A₂B=P₁/P₂;

Решение:

OB= OA₁+A₁B= OA₁ + A₁A₂ + P₁/(P₁+P₂)=

= OA₁ + P₁/(P₁+P₂)*(OA₂-OA₁) =

B = (x^*,y^*,z^*);

10. Общее уравнение прямой на плоскости; нормаль к прямой и направляющий вектор.

Общее уравнение:

Ax+By = C; (A²+B² ≠ 0)

Лемма: |e|=1; Pr_Пu = (u, e)*e. (u,e) – координаты вектора пр-ции u на e, по отнош. к базису e.

Пр_Пu = te; t = |u| cosφ= |u||e|cosφ= (u, e) Ч.т.д.

Вывод ур-я:

P = (x, y); OP = ce; P € L => Pr_LOP=OP₀ (OP,e)=ce

(OP, e) =c; OP = xi+yj; e= Ax+By;

=> Ax + By = C;

Обе части ур-я можно заменить на константу.

1. Нормалью к L называется любой ненулевой вектор, который перпенд. к L. Из вывода общего ур-я вытекает, что нормаль n = (A,B). Нормаль определ. с точностью до умножения на ненулевой скаляр: (λA, λB), λ ≠ 0. |n₀|=1 –единичная нормаль

2. Направляющий вектор – любой ненулевой вектор, параллельный с L: l = (-B, A).

Достаточно показать, что l перпенд. к n:

(l, n) = A(-B) + BA = 0

Направляющий вектор можно умножить на λ ≠ 0.

11. Уравнение прямой, выраженное через угловой коэффициент. Параметрическое и каноническое ур-я прямой. Ур-е прямой в отрезках. Ур-е прямой, проходящей через 2 точки.

1) К называют угловым коэффициентом. Геометр. смысл числа к:

A>0, B<0; k = A/-B = tg φ (острый угол);

Если А и В – числа одного знака, то угол тупой.

В обоих случаях k = tgφ, где φ – угол, на котор. нужно повернуть положит. полуось х против часовой стрелки, пока поверн. полуось не станет параллельна L.

2) Параметрическое ур-е прямой:

Возьмем на плос-ти произв. точку А₀ = (x₀,y₀), и любой ненулевой вектор l = (α, β); α²+β² ≠ 0

Возьмем прямую, проходящую через A₀, и для которой l – направляющ. вектор:

OA = OA₀ + A₀A

A₀A = tl, t – любое из R

OA = OA₀ +tl (парам. ур-е в векторной форме)

Парам.ур-е в координатной форме.

3) Каноническое ур-е прямой:

Пусть α ≠ 0 и β ≠ 0. Тогда выразим t:

Получили каноническое ур-е прямой.

4) Уравнение прямой в отрезках.

Пусть .Тогда ур-е прямой можно записать в виде

.

Чтобы доказать, покажем, что коорд. точек удовлетворяют ур-ю.

5) Ур-е прямой, проходящей через 2 точки:

A₁(x₁,y₁), A₂(x₂,y₂). l = A₁A₂ = (x₂-x₁, y₂-y₁). Запишем канон. ур-е:

В парам. форме:

12. Расстояние от точки до прямой.

1) L задана общим ур-ем: Ax+By = C; (A²+B² ≠ 0)

A₀ =(x₀,y₀)

Найдем расстояние от A₀ до L: d(A₀, L). Возьмем произвольную A₁=(x₁,y₁), A₁ принад. L.

A₁A₀ = (x₀-x₁, y₀-y₁). Найдем |( A₁A₀, n⁰)|. По опр. скалярного пр-я |A₁A₀||n⁰||cosφ| = | A₁A₀|| cosφ | = d

В коорд. форме

т.к. A₁=(x₁,y₁) лежит на L, то ее коорд. удовл. ур-ю

Ax+By = C

2) L задана общим ур-ем: Ax+By = C; (A²+B² ≠ 0)

Обе части поделим на

Получ. ур-е – нормальное ур-е прямой:

A₁x+B₁y=C₁; d(A₀, L):

Берем норм. ур-е прямой и подставляем в лев. часть координаты точки. Получаем результат и берем его модуль.

13. Условия параллельности и перпендикулярности 2х прямых.

L₁:A₁x+B₁y=C₁; L₂:A₂x+B₂y=C₂

1) Условие параллельности:

n₁=(A₁,B₁), n₂=(A₂,B₂), n₁||n₂ – коллинеарны. Значит n₂=λ n₁: A₂ = λA₁, B₂ = λB₁; A₂B₁ – A₁B₂ = 0;

Пусть обе прямые заданы ур-ем с угловым коэф.:

L₁: y = k₁x + h₁; L₂: y = k₂x + h₂;

L₁||L₂, если k₁=k₂

2) Условие перпендикулярности:

L₁ перп. L₂, n₁ перп. n₂

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

В общей форме:

k₁x-y=h₁; k₂x-y=h₂; нормали (k₁,-1), (k₂, -1)

((k₁,-1), (k₂, -1)) = 0; k₁k₂ + 1 = 0

14. Общее уравнение плоскости; нормаль к плоскости. Уравнение в отрезках. Параметрические ур-я плоскости. Ур-е плос-ти, проходящей через 3 точки, не леж. на одной прямой. Расстояние от точки до плоскости.

Общее уравнение:

Ax+By+Cz = D; (A²+B² +C²≠ 0)

Нормалью к П называется любой перпендик. к П вектор. n = (A,B,C)

1. Уравнение в отрезках:

Пусть П∩ОХ=(а,0,0), П∩ОY=(0,b,0), П∩ОZ=(0,0,c)

Чтобы доказать, покажем, что коорд. точек удовлетворяют ур-ю.

2. Параметрические ур-я плоскости:

Возьмем произв. A₀=(x₀,y₀,z₀) и пару неколлинеарн. n₁(α₁,β₁,γ₁) и n₂ (α₂,β₂,γ₂). Отложим n₁ и n₂ от A₀ и построим П.

OA₀, OA, A₀A; OA = OA₀ + A₀A.

Возьмем n₁ и n₂ в кач-ве базиса в мн-ве всех векторов, отлож. от A₀ и лежащих в П.

A₀A = t n₁ + t n₂

Выразим в координатной форме:

3. Плоскость по 3м точкам:

A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂), A₃(x₃,y₃,z₃)

A₁A₂, A₁A₃, A₁A. Полученные 3 вектора компланарны: (A₁A₂, A₁A₃, A₁A) = 0

4. Расстояние от точки до плоскости:

П: Ax+By+Cz = D; (A²+B²+C² ≠ 0)

A₀ =(x₀,y₀,z₀)

Найдем расстояние от A₀ до П: d(A₀, П). Возьмем произвольную A₁=(x₁,y₁,z₁), A₁ принад. П.

A₁A₀ = (x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁). Найдем |( A₁A₀, n⁰)|. По опр. скалярного пр-я

|A₁A₀||n⁰||cosφ| = | A₁A₀|| cosφ | = d

В коорд. форме

т.к. A₁=(x₁,y₁,z₁)лежит на П,то ее коорд.удовл. ур-ю

Ax+By+Сz = D

15. Условия параллельности и перпендикулярности 2х плоскостей.

1. Параллельность:

П₁: A₁x+B₁y+C₁z = D₁; П₂: A₂x+B₂y+C₂z = D₂

n₁ = (A₁,B₁,C₁), n₂ = (A₂,B₂,C₂)

П₁ | | П₂  n₁ | | n₂; n₂ =λ n₁; A₂=λA₁; B₂=λB₁; C₂=λC₁

2-й признак коллинеарности:

n₁ ^х n₂ =0; П₁ || П₂ 

2) Перпендикулярность:

n₁ перпенд. n₂ => (n₁, n₂)=0

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

16. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Скрещивающиеся прямые; общий перпендикуляр к ним.

1. Параметрические уравнения:

A₀ = (x₀,y₀,z₀); A = (x,y,z) – произв. точка;

l = (α, β, γ) – направ. вектор

OA = OA₀+A₀A

OA = OA₀+tl – парам. ур-е в векторной форме

2. Каноническое ур-е прямой:

3. Скрещивающиеся прямые:

Две прямые не имеют общих точек и непараллельны.

Общий перпендикуляр к ним:

Запишем L₁ и L₂ в парам. форме:

L₁: OA=OA₀+tl; L₂: OB = OB₀ + sh; A, B – текущ. т.

AB – перпенд. к L₁ и L₂; (AB, l)=0; (AB, h)=0;

AB = OB – OA

Отсюда ищем s₀ и t₀. Искомая прямая L проходит через точку (OA₀+t₀l, OB₀+s₀h).

17. Прямая, заданная как пересечение 2х плоскостей (переход к параметрическим ур-ям). Пересечение прямой плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Прямая как пересечение 2х плоскостей:

Чтобы перейти к иной записи, выражаем какие-то 2 переменные через 3ю. Пример:

3x – 3z = 1; x = z+1/3; y = 1 – x + z=1-z - 1/3 +z = 2/3

Получили параметр. ур-е.

2. Пересечение прямой с плоскостью:

П: Ax+By+Cz = D; L: l(α, β, γ), A₀ (x₀,y₀,z₀);

n = (A,B,C)

Существует удинств. решение, если n не перпенд. l:

Aα+Bβ+Cγ ≠ 0;

Для решения задачи надо найди такое t, чтобы точки с указ. координатами удовлетворяли ур-ю прямой и плоскости.

A(x₀+αt)+B(y₀+βt)+C(z₀+γt)=D;

Подставив найденное t в ур-е плос-ти получим точку пересечения прямой с плоскостью.

3. Условия параллельности прямой и плоскости:

П || L => n (A,B,C) перпенд. l(α,β,γ): Aα+Bβ+Cγ=0

4. Условия перпендикулярности:

n || l; n = λl; n ^x l=0.

5. Пучок плоскостей.

Совокупность плоскостей, проходящ. через данную точку. Ур-е целого пучка:

A₀ (x₀,y₀,z₀)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0; (A²+B² +C²≠ 0)

18. Эллипс. Вывод уравнения.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до 2х фиксированных точек есть постоянное. Указанные 2 точки – фокусы эллипса.

а – полуось вдоль оси ОХ, b – полуось вдоль OY.

с = ½ |F₁F₂|; c²=a²-b² при a>b, ε = c/a

c²= b² - a² при b>a, ε = c/b.

|MF₁|+|MF₂|=2a; a>c; M(x,y); F₁ (-c, 0); F₂ (0, c)

Вывод канонического ур-я:

Свойства уравнения эллипса:

1)

т.е. эллипс лежит внутри прям-ка, определяемыми этими нерав-вами.

2) Т.к. ур-е эллипса содержит только квадраты текущих координат, то если точка (x,y) принад. эллипсу, то и точки (x,-y), (-x,y), (-x,-y) принадлежат эллипсу. Следовательно, эллипс имеет 2 оси симметрии – оси координат.

3) Точки пересечения эллипса с осями координат. При y=0, x= ±a; при x=0 и y= ±b. Точки A₁(-a,0), A₂(a,0), B₁ (0,b), B₂ (0,-b) – называются вершинами эллипса. Отрезки A₁A₂ и B₁B₂ , а также их длины 2a и 2b называют большой и малой осями эллипса.

4) Форма эллипса характеризуется отношением половины расстояния между фокусами к его большей полуоси. Это отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается ε.

т.к. 0<c<a, то 0<ε<1.

19. Гипербола. Вывод уравнения.

Гиперболой называется множество точек на плоскости, модуль разности от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

или

а – полуось вдоль оси ОХ, b – полуось вдоль OY.

с = ½ |F₁F₂|; c²=a²+b²; ε= c/a (при 1); ε = c/b (при -1).

|MF₁|-|MF₂|=2a; a<c; M(x,y); F₁ (-c, 0); F₂ (0, c)

Вывод канонического уравнения:

Свойства уравнения гиперболы:

1) Т.к. ур-е гиперболы содержит только квадраты текущих координат, то если точка (x,y) принад. гиперболе, то и точки (x,-y), (-x,y), (-x,-y) принадлежат гиперболе. Следовательно, гипербола имеет 2 оси симметрии – оси координат.

2) Точки пересечения гиперболы с осями координат. При y=0, x= ±a; при x=0 гипербола не имеет точек пересечения. Точки A₁(-a,0), A₂(a,0) – называются вершинами гиперболы. Отрезок A₁A₂ называется действительной осью гиперболы. B₁B₂ – мнимая ось гиперболы.

3)

т.е. все точки гиперболы лежат вне полосы x=±a, и гипербола состоит из 2х отдельных ветвей.

4) Прямые y = ±(b/a) – асимптоты гиперболы.

5) Эксцентриситет гиперболы ε:

т.к. a<c, то ε>1.

20. Парабола. Вывод уравнения.

Параболой называется множество всех точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

y²=2px; y²=-2px; x²=2py; x²=-2py; p – расстояние от фокуса до директрисы.

Вывод канонического уравнения:

Свойства уравнения параболы:

1) Имеет одну ось симметрии.

2) Парабола лежит справа от оси OY, ветви направлены в сторону ОХ.

21. Поверхность, заданная уравнением F(x,y,z) = 0. Исследование методом сечений. Эллипсоид, гиперболоиды (одно- и двуполостной), параболоид, конус.

Уравнением поверхности называют ур-е вида F(x,y,z) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности.

Исследование методом сечений:

Поверхность пересекают плоскостями и анализируют уравнения полученных в сечениях кривых. Сначала выбирают секущие, проходящие через центр поверхности. Удобно в качестве секущих брать координ. плос-ти и плос-ти, им параллельные.

1. Эллипсоид

;

a>0, b>0, c>0; z=h

2. Гиперболоид

а) Однополостной

a>0, b>0, c>0; z=h

Исследование поверхности:

- полуоси эллипса

Ч
ем больше h, тем больше полуоси эллипса.

б) Двуполостный

Исследование поверхности:

z=h;

1) Если h<c, то имеем пустое множ-во. Любая плос-ть при z=h и |h|<c не пересекает нашу пов-ть.

2) Если z=c или z=-c, то имеем 1 точку (0,0).

3) z=h; |h|>c => имеем эллипс с полуосями

3. Параболоид

а) Эллиптический

a>0, b>0, z=h

1) Если h<0, имеем пустое множество. Значит вся пов. лежит в верхнем полупрост-ве.

2) Если h=0, то имеем точку (0,0,0)

3) Если h>0, то имеем эллипс с полуосями

4) Рассечем пов. плос-тью y, z:

z = y² / b²; y²=b² z; z=y²/b²

б) Гиперболический

4. Конус.

Если h=0 имеем 1 точку (0,0)

Если h≠0 то имеем эллипс с полуосями

22. Уравнение плоскости, полученной вращением кривой F(y,z) = 0. Пример.

Поверхностью вращения называют поверхность. любое сечение которой плос-тью, проходящей через точку поверхности и перпендикулярной к нек-рой прямой (оси вращения), содержит окружность, проходящую через взятую точку и имеющую центр на этой прямой.

Пример:

y+z = 1;

Найдем ур-е поверхности:

(x’)² +(y’)² =(z’) ²

(x’)² +(y’)² -(z’) ² =0 Имеем ур-е конуса.

Поверхности, являющие пов. вращения:

1) Эллипсоид в случае a=b

2) Гиперболоид в случае a=b

или

3) Конус в случае a=b

23. Линейное пространство. Линейное подпространство данного линейного пространства. Примеры.

Линейное пространство:

Пусть дано множ-во L. Пусть в нем дана операция u+v. Пусть дана операция λu, λ любое, u принад. L.

Для них действуют 6 свойств:

1) u+v = v+u;

2) u+(v+w) = (u+v) + w;

3) Сущ-вует эл-т, называемый нулевым, котор. обознач. символом 0_L. Обладает св-вом: u +0_L =u для любого u принад. L.

4) λ(u + v) = λu + λv; λ прин. R, u прин. L, v прин. L.

5) (λ₁+λ₂)u = λ₁u + λ₂u для любого λ, λ прин. R, люб. u прин. L.

6) 0*u = 0_L для люб. u прин. L.

Множ-во L, в котором определены эти 2 операции, подчин. этим 6 св-вам, называется линейным прост-вом.

Примеры:

1) О, V³₀ – все векторы, исх. из т. О. Получили лин. прост-во V³₀.

2) С [a,b] (множ-во ф-ций, непрерыв. на [a,b]). В качестве О_L выступает ф-ция, тождеств. равная 0.

3) P: a₀+a₁t+…+a_ntⁿ, a_k Э R. Множ-во всех многочленов от одной переменной. Лин. прост-во Р.

4) Фиксир. целое число n>0. Rⁿ–множ-во столбцов l.

Введем в этом мн-ве операции сложения и умножения след. образом:

Получили лин. прост-во. Нулевой элемент:

Число a_i – координата столбца.

Линейное подпространство:

L₀ Э L.

1)

2) для

В этом случае L₀ называют линейным подпространством прост-ва L.

Примеры:

1) V³₀. Возьмем плоск. П, проходящую через т. О. Тогда П – линейное подпространство пр-ва V³₀.

2) V³₀. Прямая L, проходящая через т. О.

3) С [0,1]. Выделим подпр-во пр-ва С. Рассмотрим

L

Аналогичным способом, если взять неск-ко точек [0,1]: с₁,с₂,…,с_n и если f(c₁)=0, …, f(c_n)=0, то мы тоже имеем подпр-во.

4) В кач-ве лин. пр-ва возьмем Rⁿ. L₀, a₁=-a₂.

24. Линейная зависимость и независимость набора векторов линейного пространства. Докажите, что набор векторов линейно зависим в том случае, если один из векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

L. Линейной комбинацией векторов v₁,v₂,…,v_n L называется выражение λ₁v₁+…+λ_nv_n, где λ_k R. λ_k – коэфф.

Набор векторов v₁,v₂,…,v_n называется линейно зависимым, если существуют числа λ₁, λ₂,…,λ_n, что

λ₁v₁+ λ₂v₂…+λ_nv_n=0_L и хотя бы одно из чисел λ₁, λ₂,…,λ_n не равно 0.

Набор векторов v₁,v₂,…,v_n называется линейно независимым, если этот набор не является линейно зависимым или если из неравенства λ₁v₁+ +λ₂v₂…+λ_nv_n=0_L вытекает, что все λ₁, λ₂,…,λ_n =0.

Пример 1:

v₁+ 2v₂- v₃=0_L. Тройка лин. зависима.

Свойства линейно зависимых наборов.

1. Любой набор векторов, содержащий нулевой вектор, линейно зависим. Док-во:

v₁,v₂,…,v_n; v₁ =0_L; 1*v₁+ 0*v₂…+0*v_n=0_L.

Коэффициенты 1,0,…,0, т.е. есть ненулевой коэффициент.

2. v₁,v₂,…,v_n

1)Если данный набор линейно независим, то любой из этих векторов можно выразить в виде лин. комбинации оставшихся.

λ₁, λ₂,.., λ_n; λ₁v₁+ +λ₂v₂…+λ_nv_n=0_L;

Выберем λ_i ≠0, λ₁ ≠0

v₁ = -λ₂/λ₁ v₂ - … - λ_n/λ₁ v_n

2) Докажем обратное утверждение: набор векторов линейно зависим в том случае, если один из векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных. Док-во:

Пусть вектор v₁ есть линейная комбинация остальных векторов:

v₁ = α₂ v₂ + … + α_n v_n; α_k R;

v₁ + (-α₂)v₂ + … + (-α_n)v_n= 0.

В этой лин. комбинации коэф. являются 1, -α₂,..,-α_n.

Из определения данный набор зависимый.

3. v₁,v₂,…,v_n

Пусть его поднабор линейно зависим. Тогда и весь набор линейно зависим. Предположим, что

v₁,v₂,…,v_m ; m<n; - линейно зависим.

λ₁,…, λ_m ,что λ₁v₁+ +λ₂v₂…+λ_mv_m=0_L ; |λ₁|+..+|λ₂| ≠0

0v_m+1+…+0v_n

λ₁v₁+ +λ₂v₂…+λ_mv_m+0v_m+1+…+0v_n=0_L

λ₁,…, λ_m, 0,…,0

Вывод: исходный набор линейно зависим.

25. Понятия базиса и ранга набора векторов; размерность линейного пространства Rⁿ. Координаты вектора в данном базисе.

Базисом данного набора S называется