ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 4) (Лекции (ворд))

§ Линейные операторы.

п.1. Определение линейного оператора. Примеры.

Определение. Пусть ставится в соответствие по некоторому закону . Тогда говорят, что на линейной поверхности определён оператор , - образ элемента , - прообраз элемента .

Если оператор обладает свойствами:

1). ,

2). , ,

то оператор называется линейным оператором (Л.О.)

Замечание:

, ,

Утверждение 1. , если - Л.О.

Доказательство:

Примеры Л.О.

1. - направленные отрезки в пространстве. , где - число. Оператор «растяжения»

2. - тождественный оператор

3. - пространство дифференцируемых функций .

- оператор дифференцирования.

4. - пространство столбцов высоты

Пусть , , - оператор умножения столбца на матрицу.

5. - направленное пространство отрезков.

- фиксированная плоскость

, - проекция вектора на плоскость .

В ыведем формулу

- единичный нормальный вектор.

6. - оператор зеркального отображения относительно .

п.2. Матрица линейного оператора.

Пусть - базис в

- Л.О.

Определение. - называется матрицей оператора в базисе .

Замечание.

Вообще говоря матрица оператора зависит от базиса.

- в любом базисе ( - тождественный оператор)

Примеры.

1). Выписать матрицу поворота вокруг на против часовой стрелки. .

2).

3). - многочлены степени не выше 3. Матрица оператора в базисе .

Сумма операторов. Произведение Л.О. на число. Произведение Л. операторов.

Определение 2. Пусть - линейные операторы.

Пусть

Тогда говорят, что оператор является суммой Л.О. и

Определение 3.

Пусть …. , где - действительное число. Тогда говорят, что оператор является произведением оператора на число .

Определение 4.

Пусть . Тогда говорят, что оператор является произведением Л.О. и

Теорема 1.

- матрица операторов.

Доказательство.

=

Замечание.

- матрица оператора заполняется по столбцам.

Теорема 2.

Пусть , тогда С , где С - в одном и том же базисе.

Доказать самостоятельно

Теорема 3.

Пусть , тогда С

Доказательство

С

п.3. Вычисление координат образа вектора.

,

- базис в .

Пусть - матрица Л.О. в базисе . Пусть также .

- столбцы координат элементов в базисе .

Связь

Теорема.

Доказательство.

,

, где

п.4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

,

- базис в

Пусть С - матрица перехода

Доказательство.

Теорема 2.

Доказательство.

Замечание.

Говорят, что определитель матрицы оператора является инвариантом по отношению к изменению базиса.

п.5. Собственные числа и собственные векторы Л.О.

,

Определение. Действительное число называется собственным числом Л.О. , а вектор - соответствующим вектором, если

Примеры.

1.

Всё линейное пространство состоит из собственных векторов.

2 . - проектор на плоскость

Множество собственных векторов

,

Утверждение. Собственный вектор не может соответствовать двум различным собственным числам.

Доказательство.

Пусть

Определение.

Матрица называется характеристической матрицей Л.О.

- характеристическим многочленом Л.О.

= 0 характеристическими числами Л.О.

Утверждение. Характеристические числа не зависят от базиса.

Доказательство

Докажем, что характеристические числа не зависят от базиса.

Пусть есть базисы и , а также известна матрица перехода С . Тогда

С С

Выпишем характеристический многочлен в новом базисе.

( С С ) = ( С С ) =

С С = .

Характеристический многочлен не изменяется характеристические числа не изменяются.

Как вычислить собственные вектора и собственные числа ?

Теорема. , (матрица оператора в базисе)

является собственным вектором оператора соответствующего собственного числа

1). - действительный корень характеристического уравнения

2). - нетривиальное решение системы

- столбец координат в характеристическом базисе .

Доказательство: - собственный вектор оператора , соответствующего собственному числу

, , - вещественное число.

, , - вещественное число.

, , - вещественное число.

1). (чтобы существовало нетривиальное решение )

2). , - вещественное число.

п.2. Спектральные свойства линейного оператора.

Обозначим

Теорема. - линейное пространство.

Доказательство.

1). Докажем замкнутость относительно и .

Пусть , ,

2). Пусть

Аксиомы °- 8° так как все элементы принадлежат Л.П.

1) + 2) + ( °- 8°) - линейное пространство.

Замечание. Один собственный вектор соответствует одному собственному числу, но каждому собственному числу соответствует целое пространство собственных векторов.

Теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, образуют ЛНС.

Доказательство.

По индукции .

Предположим, что утверждение верно для , то есть - ЛНС. Докажем, что тогда и система тоже ЛНС.

Пусть - ЛЗС, то есть (*)

Вычтем из предыдущего равенства равенство (*), домноженное на :

Левая часть является линейной комбинацией векторов , в которой не все коэффициенты равны нулю. Но - ЛНС в правой части не может быть .

Получили противоречие тоже является ЛНС. Для верно верно .

Определение. Оператор имеет простой спектр, если все характеристические числа действительные и различные.

Замечание.

, .

Пусть имеет простой спектр

- собственные числа

ЛНС базис в если оператор имеет простой спектр, то в существует базис из его собственных векторов: , …,

- диагональная матрица, матрица в базисе из собственных векторов.

Определение. Оператором оператора называется множество всех его собственных векторов (взятых столько раз, какова его кратность).

§ Квадратичные формы.

п.1. Определение. Матрица квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании координат.

Определение. Квадратичной формой от переменных , называется форма вида:

Пример:

Поэтому считаем для симметрии, что

Определение. Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы .

Пример: . На главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах, а остальные составляющие матрицы- коэффициенты при

Пусть выполняется линейное последовательное преобразование переменных:

С , С , ,

Очевидно

- матрица квадратичной формы в новых переменных.

п.2. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Определение. Пусть . Тогда говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид. Если более того , то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид.

Задача: привести квадратичную форму к каноническому виду.

Пример:

= .

Что делать, если в нет квадратов?

Пример. (смотри предыдущий пример)

п.3. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если , причём

Пусть имеет минор . Назовём минором минимальное значение в левом верхнем углу.

Теорема (критерий Сильвестра).

1). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главный минор

2). Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры чередуются по знаку, начиная с минуса.

Определение. Положительноопределенные и отрицательнопределенные квадратичные формы называются знакоопределенными.

(но не положительноопределенная!)

Теорема (закон инерции квадратичных форм).

Количество знаков «+» и «-» в каноническом виде квадратичной формы не зависит от линейных преобразований переменных.