ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 3) (Лекции (ворд))

§ Прямая в пространстве.

п.1. Каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение прямой, уравнение прямой по двум точкам.

Задача.

К аноническое уравнение прямой: (1)

Замечание.

Соотношение (1) понимается как пропорции.

- параметрическое уравнение прямой,

Задача о пересечении прямой с плоскостью (смотри семинар)

Задача о построении прямой по двум точкам.

п.2. Общие уравнения прямой. Связь с каноническими уравнениями.

(4) - общие уравнения прямой

К ак, зная общие уравнения прямой, выписать канонические?

можно взять

Для того, чтобы найти фиксируем и решаем

Может оказаться, что не существует. Тогда находим . Если таких не существует, то фиксируем .

Обязательно один из трёх вариантов , или .

Точка найдется. Знаем .

п.3. Взаимное расположение прямой и плоскости.

1.

не

не

2 .

3 . не

п.4. Взаимное расположение прямых.

Две прямые в пространстве.

1 . ,

2.

3.

4. Скрещиваются

Случай 4. реализуется некомпланарны

- общий перпендикуляр,

и

К ривые второго порядка.

Если , то говорят, что - кривая 2-го порядка.

Не всякое уравнение такого типа определяет кривую 2-го порядка. Например, - не определяет никакой кривой на плоскости

(это так называемый мнимый эллипс).

п.1. Эллипс. Его определение и его свойства.

О пределение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная и равная .

Введем каноническую систему координат:

эллипсу

Введем уравнение эллипса в канонической системе координат.

=

=

- каноническое уравнение эллипса

Величины и называются полуосями эллипса.

Пусть

и ограничена

При вертикальные касательные.

Определение 2. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

, для окружности

для окружности,

О пределение 3. Прямые называются директрисами эллипса.

Утверждение (директориальное свойство эллипса):

эллипсу

Итог.

Кривая на плоскости является эллипсом

- для точек кривой

В некоторой декартовой системе координат

для точек кривой.

О птическое свойство эллипса.

Пусть луч света выпущен из , он отразится от внутренней поверхности эллипса.

( - касательная в точке ) (без доказательства)

Луч пройдет через . Затем он отразится и пройдёт через и так далее.

Если источник перемещён в , то в фокусе появляется мнимый источник.

- тоже эллипс.

п.2. Гипербола. Её определение и свойства.

О пределение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная и равная .

Выведем каноническое уравнение гиперболы.

В ведем каноническую систему координат:

Пусть

Пусть = … (смотри чертеж)

Возведем в квадрат, .…

Пусть

- каноническое уравнение гиперболы. - полуоси гиперболы.

Гипербола имеет наклонные асимптоты (диагонали основного прямоугольника лежат на наклонных асимптотах)

При , - нет точек.

Докажем, что - наклонные асимптоты для случая ,

- уравнение наклонной асимптоты.

При , - нет точек гиперболы.

при , наклонная асимптота .

Аналогично доказывается наличие наклонной асимптоты

1. при ,

2. при ,

3. при ,

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Определение. Прямые называются директрисами гиперболы.

Утверждение (директориальное свойство гиперболы).

- задание любых двух параметров из четырех однозначных определений гиперболы.

- касательная к точке .

Можно доказать, что

Луч света, выпущенный из точки после отражения от внутренней поверхности гиперболы будет двигаться так, как будто выпущен из , то есть если в одном из фокусов поместить точечный источник, то в другом фокусе появляется мнимый источник.

- уравнение гиперболы, сопряженной к .

п.3. Парабола и её свойства.

О пределение. Парабола- геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых до фиксированной точки, называемой фокусом до фиксированной прямой, называемой директрисой равна 1.

Введем каноническую систему координат.

- в канонической системе координат.

Число называется фокальным параметром.

, точка - посередине между и .

Самостоятельно доказать, что в канонической системе координат

- каноническое уравнение параболы.

Свойство параболы:

П усть в точке построена касательная к параболе.

Пусть

Тогда , где

Оптическое свойство параболы.

Если источник света поместить в фокус, то после отражения от внутренней поверхности параболы лучи света пойдут параллельно оси .

Обратно: если взять бесконечно удаленный источник, то в фокусе образуется мнимый источник.

Замечание: - парабола, вытянутая вдоль оси .

Поверхности второго порядка.

Пусть введена декартова система координат в пространстве.

Пусть

Тогда говорят, что уравнение определяет поверхности 2-го порядка в пространстве.

- «мнимый» эллипсоид

Рассмотрим основные типы поверхностей 2-го порядка.

1. Эллипсоид.

-каноническое уравнение эллипсоида.

Соответствующая система координат называется канонической.

Метод сечений.

эллипс

- полуоси эллипсоида

Не существует точек эллипсоида

Например, рассмотрим случай

Если , то нет таких точек эллипсоида.

2. Однополосный гиперболоид.

- каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

С оответствующая система координат называется

канонической.

Сечения:

гипербола

гипербола

эллипс - горловой эллипс

эллипс

Через каждую точку однополостного гиперболоида можно провести две прямые, целиком лежащие в гиперболоиде.

Такие поверхности называются линейчатые.

Замечание: - однополостный гиперболоид, вытянутый вдоль

3. Двухполостный гиперболоид.

- каноническое уравнение двухполостного гиперболоида.

1).

, то не существует точек двухполостного гиперболоида.

эллипсы

2). гипербола

3). гипербола

4. Эллиптический параболоид.

- каноническое уравнение эллиптического параболоида.

не 0

- эллипсы.

парабола

парабола

Замечание: вытягивается по оси

5. Гиперболический параболоид.

- каноническое уравнение гиперболического параболоида

- сопряженные гиперболы

парабола

парабола

Гиперболический параболоид- линейчатая поверхность. Через каждую можно провести две прямые, целиком лежащие на поверхности.

Точка - точка седла.

Замечание. …. Вытянуто вдоль оси

6. Конус.

- каноническое уравнение конуса.

точка

эллипсы

прямые

прямые

Конус- линейчатая поверхность

Замечание.

1 ).

2). - верхняя часть.

3 ). Эллипс, гипербола, парабола- конические сечения.

7. Цилиндрические поверхности.

Пусть в уравнении поверхности отсутствует одна переменная. Например, .

На плоскости - кривая .

Проведем через каждую точку кривой прямую, параллельную (образующую). Получим цилиндр.

Название цилиндра определяется названием кривой .

Эллиптический цилиндр. Параболический цилиндр

Г иперболический цилиндр.

Замечание.

- цилиндрическая поверхность.

коническая поверхность.