101889 (Проблемы очередей), страница 2

Если заявки на обслуживание поступают в сервисную систему абсолютно произвольно, временные интервалы между соседними заявками распределяются по экспоненциальному закону (рис.5.4).Функция распределения вероятностей в таком случае имеет вид

где - среднее количество заявок, поступающих за определенный период времени.

Интегрируя кривую (5д. 1), т.е.

, в области положительных значений, можно вычислить

вероятность появления входящих заявок за определенный период времени. Так, например, при условии поступлении в очередь одной заявки в единицу времени можно образовать приведенную ниже таблицу, значения для которой либо получены из формулы , либо взяты из Приложения F. Во втором столбце этой таблицы приведены вероятности того, что следующая входящая заявка поступит более чем через t минут после предыдущей. В третьем столбце приведены вероятности появления следующей входящей заявки в течение t минут (они вычисляются вычитанием из столбца 1 значений столбца 2).

Рис. 5.4. Экспоненциальное распределение

Чтобы найти число поступающих заявок в течение определенного периода Т, необходимо воспользоваться распределением Пуассона, приведенным на рис. 5.5. Оно получено вычислением вероятности появления n событий (заявок) в течение периода Т при условии, что появление событий носит произвольный характер. Закон распределения вероятностей Пуассона описывается формулой Применительно к рассматриваемой проблеме очередей формула (5д.2) отображает вероятность поступления конкретного числа n входящих заявок за определенный период времени T1. так,например, если средняя интенсивность входящего в систему потока равна трем заявкам в минуту

(λ = 3) и нужно определить вероятность того, что в течение минутного периода в систему поступят именно пять заявок (λ = 5, Т= 1), то получаем

Следовательно, в любой минутный интервал в сервисную систему поступает 5 заявок с вероятностью 10,1%. Распределение Пуассона графически чаще отображается в виде плавной кривой, как, например, показано на рис. 5.5, однако фактически оно дискретно. (Кривая сглаживается в большей мере при увеличении значения п.) Рассматриваемое нами распределение может быть только дискретным, поскольку n в рассматриваемом случае обозначает количество заявок, поступающих в сервисную систему, а следовательно, обязательно должно быть целым числом (например, не может быть 1,5 заявки).

Обратите также внимание, что экспоненциальное и пуассоновское распределения взаимосвязаны. Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона одинаковы и равны λ . Среднее значение экспоненциального распределения равно а дисперсия --- . (Нужно помнить, что интервалы между двумя входящими заявками распределяются экспоненциально, а количество заявок в единицу времени - в соответствии с распределением Пуассона.) 1 n!= n(n- 1)(n- 197 )

Другие характеристики входящих потоков

Другими важными характеристиками входящих потоков являются: вид входящего потока, размер единицы входящего потока заявок и уровень терпеливости клиентов (рис. 5.6).

Bug входящего потока

Входящие в систему потоки намного лучше поддаются управлению, чем принято считать. Так, например, парикмахер может снизить интенсивность входящего потока в субботу (и, чаще всего, переместить его на другие дни недели), увеличив цену стрижки взрослого посетителя на 1 доллар или взимая за стрижку ребенка "взрослую" цену. Магазины проводят сезонные распродажи в периоды затишья или однодневные распродажи частично для регулирования потока покупателей. С такой же целью авиалинии предлагают своим пассажирам сезонные скидки и сниженные расценки для туристов. Проще всего управлять входящими потоками, назначив конкретные часы работы предприятия. Однако следует помнить, что в некоторых сервисных организациях спрос неуправляемый, как, например, потребность в неотложной медицинской помощи в городской больнице. Однако даже в таких ситуациях входящими потоками в пункты скорой помощи конкретных больниц в некоторой степени можно управлять, например, информировать водителей машин, работающих в конкретном районе, о степени загруженности разных больниц.

Единица входящего потока

Одиночная заявка рассматривается как единица измерения потока (т.е. наименьшее возможное число). Так, например, одиночная заявка на Нью-йоркской фондовой бирже составляет пакет из 100 акций; одиночная заявка потока на яйцеперерабатывающей фабрике может быть как десяток яиц, так и лоток на 2,5 десятка яиц; одиночная заявка в ресторан --- один посетитель. Групповая заявка включает в себя множество единиц, например, лот акций из 10 пакетов (1000 акций), ящик из лотков яиц или компания из пяти человек, пришедшая в ресторан.

Терпеливой называют заявку клиента, который будет ожидать момента оказания услуги сервисным предприятием столько времени, сколько необходимо. В соответствии с теорией очередей, даже если клиент ведет себя нетерпеливо и выражает свое недовольство, уже тот факт, что он тем не менее продолжает ожидать, позволяет назвать его терпеливым. Существует два типа нетерпеливых входящих потоков. Клиенты (заявки) первого типа прибывают в систему обслуживания, осматривают ее и очередь и решают немедленно уйти. Ко второму типу относятся те, кто прибывает, знакомится с ситуацией, становится в очередь и затем, постояв некоторое время, все же уходит. Поведение первого типа называют неприсоединением к очереди , а второго - переоценкой условий ожидания .

Характеристика очередей

Как уже отмечалось, основными элементами системы массового обслуживания являются очереди (или несколько очередей) и имеющиеся в наличии каналы обслуживания. Ниже описываются основные характеристики очередей и правила управления ими, а также анализируются структуры очередей.

Параметры очередей

Основными характеристиками очередей являются: длина очереди,количество очередей ("хвостов") и дисциплина очереди.

Длина очереди

С практической точки зрения бесконечной называется любая очередь, длина которой по сравнению с пропускной способностью сервисной системы очень велика. Возможными примерами бесконечной очереди могут быть дорожные пробки, растянувшиеся на несколько километров, либо очередь в театральную кассу на несколько кварталов. Автозаправочные станции, загрузочные доки и автомобильные стоянки имеют ограниченную пропускную способность обслуживания очередей, которая регулируется юридическими нормами или техническими возможностями. Ограниченная пропускная способность накладывает отпечаток на управление очередями и одновременно вызывает перераспределение входящего потока. Клиенты, которым было отказано во вхождении в конкретную очередь вследствие недостатка места, могут присоединиться к данной генеральной совокупности позднее, а могут найти другую сервисную систему и выйти из генеральной совокупности рассматриваемой сервисной системы. И такие действия клиентов приводят к совершенно разным результатам.

Количество очередей

Очередь называется однолинейной, если сервисная система работает с одной очередью, выстроенной в одну линию. Многолинейные очереди состоят из двух или нескольких однолинейных очередей, образующихся к двум или нескольким каналам обслуживания. К ним относятся также несколько однолинейных очередей, соединяющихся в определенной точке перераспределения в одну линию. Особенностью многолинейных очередей на перегруженных сервисных предприятиях является то, что они не постоянны и часто смещаются, например, если несколько заявок поступили через короткие интервалы, то одна очередь может оказаться более длинной, чем другие, и клиенты переходят из нее в более короткие. То же самое происходит, если очевидно, что на обслуживание клиентов, стоящих в других очередях, требуется меньше времени.

Дисциплиной очереди называют правило или набор правил, определяющих приоритетный порядок обслуживания клиентов в очереди. Выбранные предприятием правила могут оказать весьма серьезное влияние на общую производительность сервисной системы. От правил назначения приоритета зависит количество клиентов в очереди, среднее время ожидания, диапазон варьирования длины очереди, продуктивность работы сервисного предприятия и многое другое. Наиболее распространенным правилом назначения приоритета является правило первым прибыл, первым обслужен (First Come, First Served --- FCFS). Согласно ему клиенты в очереди обслуживаются в хронологическом порядке прибытия, и никакие другие характеристики на порядок обслуживания влияния не оказывают. Это правило считается самым справедливым, однако на практике оно зачастую приводит к дискриминации тех клиентов (заявок), время обслуживания которых намного короче времени обслуживания других. Другими примерами правил назначения приоритета являются: первоочередное обслуживание по предварительным заказам, первоочередное обслуживание в случаях крайней необходимости, первоочередное обслуживание наиболее доходных клиентов, первоочередное 200 больших заказов, первоочередное обслуживание постоянных клиентов, первоочередное обслуживание клиентов, ожидавших в очереди наибольшее время, и обслуживание по ближайшей обещанной дате. В реальных условиях могут применяться сразу несколько приоритетов, выстраиваемых в порядке значимости.

При использовании любого из этих правил возникает две основные проблемы практического характера. Первая заключается в том, что о них необходимо проинформировать клиентов с тем, чтобы они могли им следовать, а вторая --- в необходимости создании специальной системы, позволяющей служащим управлять такими очередями (например, ввести номерную систему).

Распределение времени обслуживания

Еще одной важной характеристикой очереди является время, которое клиент или единица потока (заявка) проводит в контакте с каналом обслуживания от начала процесса обслуживания. В рассмотренных выше формулах использовалась интенсивность обслуживания, определяемая как пропускная способность канала обслуживания в количествах единиц потока за определенный период времени (например, 12 завершенных операций в час), а не как время обслуживания, которое для данного примера в среднем составляет пять минут. Если каждое обслуживание имеет одну и ту же продолжительность, то говорят о правиле постоянного времени обслуживания. Соблюдение этого правила (так же как неизменный интервал поступления заявок) чаще присуще только автоматически выполняемым операциям. Если же время обслуживания имеет произвольную величину, то для его описания используют закон экспоненциального распределения. Исходя из него определяют среднее число, обозначаемое м, единиц потока (заявок) или клиентов, которые могут быть обслужены в течение этого периода.

Структура очередей Как ВИДНО из приведенного ниже рисунка, поток заявок, подлежащих обслуживанию, может проходить через одну очередь, через несколько очередей либо через комбинацию этих двух вариантов. Выбор формата структуры частично зависит от количества клиентов (заявок), нуждающихся в обслуживании, и частично --- от ограничений, связанных с конкретным порядком, в котором должно проводиться обслуживание. Одноканальная, однофазовая структура Это самый простой тип структуры очереди и, если входящие потоки и процесс обслуживания описываются стандартными распределениями, то существуют простые формулы для решения соответствующих задач. Если же эти распределения нестандартные, то такие задачи относительно легко решаются с помощью компьютерного моделирования. Типичным примером одноканальной и однофазовой структуры может служить парикмахерская с одним парикмахером.

Одноканальная, многофазовая структура В качестве иллюстрации такой структуры можно привести станцию для мойки автомобилей, поскольку в ходе этого обслуживания выполняется целый ряд сервисных операций в относительно стабильной последовательности: чистка пылесосом, увлажнение, мытье, ополаскивание, сушка, мойка окон и парковка. Основным показателем одноканальной, многофазовой структуры

обслуживания с определенной последовательностью услуг является объем накопления единиц потока (заявок) перед каждой операцией, где также образуются свои отдельные очереди.

Примерами такого типа структуры могут служить очереди к окнам банковских клерков или к кассам в крупных магазинах. Особенностью данной структуры является то, что вследствие неравномерного времени обслуживания каждого клиента очереди продвигаются с разной скоростью. При этом некоторые клиенты, прибывшие в систему позже, обслуживаются раньше тех, кто пришел первым. Это приводит также к определенному перераспределению очередей, произвольно осуществляемому клиентами. Для того чтобы соблюдать правило обслуживания клиентов в хронологическом порядке их прибытия, необходимо предварительно сформировать одноканальную очередь, в которой, как только освобождается один из каналов обслуживания, обслуживается следующий в очереди клиент. Основная проблема такого формата обслуживания состоит в том, что для соблюдения хронологического порядка требуется очень строгий контроль за движением очереди, который дает возможность четко направлять клиентов к освобождающимся каналам обслуживания. В некоторых ситуациях решить эту проблему помогает присвоение клиентам номеров по мере их

входа в систему.

Многоканальная, многофазовая структура

Эта ситуация в общем похожа на описанную в предыдущем разделе, с той лишь разницей, что в определенной последовательности выполняется две или несколько обслуживающих операций. Примером формата такого обслуживания может служить прием пациента в больнице, поскольку эта процедура обычно состоит из ряда этапов: первоначальный контакт с сотрудником приемного отделения, заполнение медицинских карт, получение идентификационных номерков, назначение палаты и отправка в нее пациента и т.д. Поскольку в этом процессе обычно задействовано несколько служащих, одновременно обслуживаются несколько пациентов.