вопросы по матанализу (Вопросы к экзамену по матанализу для МТ, Э-5, РК от ФН-1.)

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу

«Математический анализ»

Наверное, это больше шпора, чем руководство для учения. Но надеюсь что вам это поможет…

1.Множество R действительных чисел, Сформулировать аксиому полноты и принцип вложенных отрезков. Промежутки; окрестности конечной точки и бесконечности.

1.1.Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел R

Q U Y = R

1.2. Аксиома полноты (непрерывности) множества действительных чисел

Эта штучка отражает то что как бы нету промежутков между числами. то есть между числом условно 2 и 3 существует бесконечное множество действительных чисел.

1.3. Принцип вложенных отрезков

1.4. Числовые промежутки

1.5 Окрестности

2. Ограниченные и неограниченные множества в R. Определение точных верхней и нижней граней множества. Доказать их существование. Сформулировать теорему о точных гранях. Привести примеры.

2.1. Определение ограниченного и неограниченного множества

Неограниченное множество - соответственно, множество, для которого такого числа М не существует.

И для любого бесконечно большого М найдется такое Х, что модуль Х больше или равен М.

2.2. Точная верхняя и нижняя грань множества.

2.3. Доказательство существования верхней и нижней грани

3. Функция и ее график. Понятия композиции функций и обратной функции. Привести примеры. Определение четных, нечетных и периодических функций, свойства их графиков. Примеры. Определение функции: (а) монотонной; (б) ограниченной на данном промежутке.

3.1 Функция и ее график

Ну короче функция это отображение единственной зависимости Д(х) от Е(у).

3.2 Композиция функций==сложная функция

Если честно я нигде не видела более всратого объяснения что сложная функция это функция вида y=f(g(x)).

3.3 Обратная функция

Тоже долбоебизм. Обратная функция, это когда из вида y=f(x) функция превращается в вид x=f(y)

3.4. Четные, нечетные и периодические функции

В лекциях такого нет… Ну и пох…

Четная функции - функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента.

тобиш f(-x)=f(x)

Нечетная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной

f(-x)=-f(x)

Периодическая функция - функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента

3.5 Монотонная функция

Это функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде не убывает, либо везде не возрастает.

3.6. Функция, ограниченная на данном промежутке

Функция называется ограниченной на данном интервале (а,b), если существуют некоторые числа м и М такие, что для любого x принадлежащего отрезку верно равенство m<=f(x)<=M.

4. Основные (простейшие) элементарные функции, их свойства (области определения и значений, монотонность, четность-нечетность, периодичность) и графики. Класс элементарных функций. Примеры неэлементарных функций.

4.1 Основные элементарные функции

Свойства элементарных функций:

в лекциях этого не было… я нашла классные картинки

4.2. Элементарные функции

5. Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся последовательности. Сформулировать основные свойства предела последовательности: предел постоянной, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности (необходимое условие сходимости), теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности). Доказать два из них.

5.1. Числовая последовательность

последнее замечание мне нравится больше всего и в целом идеально описывает что вообще такое числовая последовательность

5.2. Определение предела последовательности и его геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация:

5.3. Сходящаяся последовательность

Если у последовательности существует конечный предел, то она сходящаяся.

5.4. Основные свойства предела последовательности. Я напишу два самых легких доказательства

5.4.1. Предел постоянной

5.4.2. Единственность предела. В наших лекциях доказательство очень ебаное, я приведу МГУшное.

5.4.3. Ограниченность сходящейся последовательности

5.4.4. теорема Вейерштрасса

лол, даже в наших лекциях не доказывается

6. Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего предела последовательности). Определение гиперболических функций, их простейшие свойства и графики. Основные тождества, связывающие гиперболические функции

6.1. Определение числа e

6.2 Гиперболические функции, их простейшие свойства и графики

7. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрич

еская интерпретация предела для случаев: x a x a → → + , , x a → − , x →, x → + , x → − А твоя наверное врач!!!. Связь между пределами функции при односторонних и двустороннем стремлении аргумента.

7.1 Общее определение предела функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) при x→x*, если любому сколь угодно малому э epsylon можно подобрать такое число б beta,что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x*|

7.2. При стремлении к бесконечности, к нулю, к разным штукам вообще

да и к нулю в целом будет такой же смысл только в другую сторону (я не уверена)

7.3 Связь между односторонними перделами

8.. Сформулировать теоремы о пределе функции: (а) о единственности предела; (б) о замене переменной в пределе (о пределе сложной функции), доказать одну из них.

8.1Теорема о единственности предела

Если предел функции существует, то он единственный.

Здесь a(x) и b(x) - бесконечно малые функции. Типо их можно во внимание не брать (вапще).

Получили противоречие и перестали заниматься хуйней.

8.2. Теорема (о пределе сложной функции). Пусть y=f (x ) , z=g(y) и пусть существуют пределы * lim f(x)= a при х стремящемся к чему угодно и lim g( y)=b при y стремящемся к а, собственно пределу f(x). . Тогда существует предел сложной функции g ( f(x )) при x и этот предел равен b По сути то эта теорема доказывает наше право заменять переменную.

Тот кто будет доказывать эту теорему а не предыдущую мазохист.

9. Сформулировать теоремы о локальных свойствах предела функции: (а) о локальной ограниченности функции, имеющей предел; (б) о локальной знакоопределенности функции, имеющей предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела). Доказать одну из них.

9.1 Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Локально ограниченная -- это значит ограниченная на каком-то множестве аргументов, то есть можно указать такие значения a и b, что a <= f(x) <= b для любого x из этого множества. Мы помним вопрос из предыдущих пунктов и понимаем, что тут написано. Ебать ненужная и тупая теорема, кто хочет со мной поспорить напишите в лс, поболтаем(z_z)

9.2 Теорема о локальной знакоопределенности функции, имеющей предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела).

Если функция имеет пердел больше нуля, то из определения пердела следует что в некоторой епсилон окрестрности F(x)>a/2

10.Сформулировать теоремы: (а) о предельном переходе в неравенстве; (б) о пределе промежуточной функции. Доказать одну из них. Отсутствие предела при x → у периодической непостоянной функции.

10.1 Теорема о предельном переходе в неравенстве

10.2. Предел промежуточной функции

Доказательство там ебаное максимально. Чисто для мазохистов.

10.3.Отсутствие предела при x → бесконечности у периодической непостоянной функции.

Если честно я не нашла это в наших лекциях. Имеется в виду, что периодическая функция, тождественно не равная константе, не имеет предела при стремлении бесконечности. Пример:

11.Определение бесконечно малой функции при данном стремлении аргумента, расшифровка для конкретных стремлений. Доказать теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента. Сформулировать свойства бесконечно малых функций. Доказать два из них: теорему о сумме бесконечно малых и теорему о произведении бесконечно малой на локально ограниченную.

11.1Функция f(x) называется бесконечно малой (б.м.) при x*, если ее предел при этом стремлении равен нулю.

Расшифровка для конкретных стремлений… що?

11.2

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента

В обратную сторону она тоже работает, но я не буду ее здесь писать потому что она очевидная в целом. Тобеш если можно вот так представить функцию то пердел равен а.

Ну вот бредок короче. Ввели обозначение бесконечно малой функции в виде разности функции любой и предела этой любой функции. Неравенство сошлось, но это бред ебаный

11.3 Свойства бесконечно малых функций.

11.3.1.

Найдется какое то М, для которого любое значение функции в бета окрестности точке меньше М….

11.3.2.

ну тут все понятно. что sin x, что (sin x)+x одна хуйня при стремящихся к нулю x

11.3.3

Если умножить sinx на допустим const, то будет все равно бесконечно малую, то при стремлении к нулю эта штучька даст бесконечно малую функцию.

Или если умножить синус x на x при стремлении к 2п, то она тоже даст бесконечно малую функцию.

11.3.4

11.4. Доказать две из них

11.4.1 Теорема о сумме бесконечно малых

я не понимаю ни единого слова!

11.4.2 Теорема о произведении бесконечно малой на локально ограниченную

ну тобеш существует какое то М, которое больше всех значений f(x) во всей окрестности некоторого бета…

что………

12. Сформулировать арифметические теоремы о пределах (предел суммы, произведения и частного двух функций). Доказать две из них.

12.1. Предел суммы

Надо отметить, что фраза “конечный предел” означает что предел не равен 0 или бесконечности.

короче представляем две функции в виде суммы предела и бесконечно малой, складываем, получаем бесконечно малую + константу

12.2. Предел произведения

12.3. Предел частного

13.Определение бесконечно большой функции при данном стремлении аргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для конкретных стремлений. Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.

13.1

13.2

14. Доказать теорему о «первом замечательном пределе». Сформулировать ее следствия. Доказать два из них.

Следствия:

15.Сформулировать теорему о «втором замечательном пределе» и ее следствия. Доказать два из них.

15.1

Она как то очень сложно доказывается, поэтому доказать ее нас собсна не просят.

15.2. Следствия

16.16. Сравнение функций при данном стремлении аргумента, определение отношений «~» «о-малое» и *«О-большое», примеры. Сформулировать теоремы об эквивалентных функциях (свойства отношения эквивалентности). Доказать две из них. Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента. Привести примеры

16.1 Сравнение функций при данном стремлении аргумента - по сути выяснение, какая из этих ближе и быстрее приближается к нулю при таком стремлении аргумента

16.2. Определение отношений ( то с чем у меня лично проблемы…)

а)

, то ,

тобиш f(x) стремится к нулю быстрее чем g(x).

б)

и они обозначаются как

в) логично, что 0 большое - это когда предел отношения функций равен бесконечности.

16.3. Свойства отношения эквивалентности

Пиздец их целых 5…. Я напишу все и два доказательства

а)

Доказательство в одну строчку:

б)

в)

г)

д)

Доказательство в одну строчьку:

16.3. Определение порядка малости одной функции относительно другой

Пока делала этот пункт смотрела Волк с уолл стрит. Зацените шутку:

Мы все остолопы. Вот к примеру Честер Мин - необразованый китаец. Думал, что Джиу- Джитцу это город в Израиле (гениально).

17. Записать и вывести эквивалентности (при x →0 ) для функций: sin , tg , x x arcsin x , arctg x , 1 cos − x , 1, log (1 ), (1 ) 1, x a a a x x − + + − а твоя наверное врач НЕЕЕТ отвечает повар также для многочлена P(x) при x →0 и x → (т.е. для каждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида k C x ). Эквивалентности для loga x и 1 a x − при x →1. Применение эквивалентностей для вычисления пределов. Примеры.

В лекциях нет доказательств… Ну в целом можно вот эту всю историю выводить через первый и второй замечательные пределы…

Эквивалентности для стремящихся к 1 я даже в интернете не могу найти.. Напишите в личку по этому поводу пожалуйста…

18. Определение непрерывности функции в точке, равносильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке, ее связь с (обычной) непрерывностью в точке. Доказать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Сформулировать теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Доказать одну из них. Доказать теорему о непрерывности композиции двух непрерывных функций. Сформулировать теорему о непрерывности основных элементарных функций и теорему о непрерывности элементарных функций. Доказать непрерывность многочлена и функции sin x. Сформулировать локальные свойства функции, непрерывной в точке х0: (а) локальная ограниченность; (б) локальное знакопостоянство (если 0 f x( ) 0 ). Доказать одно из них.

18.1. Определение непрерывности функции в точке

равносильное определение 1

равносильное определение 2

да заебали вы со своими равносильными формулировками, можно без приращений?

https://xoxo.ru/wp-content/uploads/2020/11/hoz1.jpg

18.2. Односторонняя непрерывность

левосторонняя непрерывность определяется аналогично

18.3.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

18.4 Теоремы о непрерывности частного, суммы и произведения двух непрерывных функций.

Доказательство в лекциях только одно.

18.5. Непрерывность композиции двух непрерывных функций.

18.6. Теорема о непрерывности основных элементарных функций и элементарных функций.

18.7. Непрерывность функции sin x (по сути пример к предыдущей надписи)

18.8 Непрерывность многочлена

18.9 Локальные свойства функции, непрерывной в точке xо.

а) локальная ограниченность

б)локальное знакопостоянство

19. Определение функции, непрерывной на интервале, полуинтервале, отрезке. Сформулировать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке: две теоремы Вейерштрасса, теорема Больцано – Коши, их следствие. Привести примеры, иллюстрирующие существенность условий в формулировках этих теорем. Сформулировать теорему о непрерывности функции, обратной к монотонной и непрерывной функции.

19.1. Определение функции, непрерывной на интервале, полуинтервале, отрезке

19.2. Теорема Вейерштрасса 1

19.2. Теорема Вейерштрасса 2.

19.3 Теорема Больцано - Коши

19.4. Теорема о непрерывности функции, обратной к монотонной непрерывной функции.

20.Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры

20.1. Определение точки разрыва функции

20.2 Классификация точек разрыва

21. Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Критерий существования горизонтальной и вертикальной асимптот. Вывести формулы для вычисления коэффициентов уравнения наклонной асимптоты

21.1.

22. Определение производной функции в точке, ее геометрический, механический (или общенаучный) и экономический (для факультета ИБМ) смысл. Определение касательной и нормали к графику функции. Уравнения касательной и нормали. Определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теоремы о связи дифференцируемости и: (а) существования конечной производной; (б) непрерывности функции в точке.

22.1 Определение производной функции в точке

22.2 Геометрический смысл производной:

22.3 Механический смысл производной:

22.4 Касательная к графику функции и ее уравнение:

коэффициент к и будет являться производной.

22.5 Нормаль к графику функции и ее уравнение:

22.6 Определение дифференцируемости функции в точке.

22.7 Теорема о связи дифференцируемости и существовании конечной производной

22.8 Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке

23. Односторонние производные. Связь односторонних производных с обычной (двусторонней). Определение бесконечной производной функции в точке и ее геометрическая интерпретация.

23.1 Односторонние производные и связь их с обычной производной.

23.2. Определение бесконечной производной в точке.

24.Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Доказать два из них. Доказать теоремы о производной: (а) сложной и (б) обратной функций. Вывести формулы для производных константы, показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических и гиперболических функций.

24.1. Правила дифференцирования

24.2 Теорема о производной обратной функции

24.3. Теорема о производной сложной функции

24.4. Формули производних

Вывода их нет нормального в лекциях, вывод хотя бы одной занимает много места. Если в лекциях будэ выведу.

25.Логарифмическое дифференцирование (предварительное логарифмирование) и его применение. Нахождение производной функций вида ( ) ( ) ( ) v x u x . Дифференцирование произведений и дробей с большим числом сомножителей в числителе и знаменателе. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Дифференцирование функции, заданной неявно. Нахождение первой и второй производных функции, заданной параметрически.

25.1 Дифференцирование функции, заданной неявно

у нас почему то в лекциях нет этой простой формулы:

теорема не имеет отношения к материалу, просто формула. Z здесь к слову - функция с двумя переменными.

25.2. Логарифмическое дифференцирование

25.3. Производные высших порядков

25.4 Физический смысл второй производной

26. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл. Сформулировать правила

нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказать два из них.

Доказать инвариантность формы первого дифференциала. Определение дифференциалов высших

порядков.

Есть шанс, что вас уже раздражает так много буквы ф, но мы продолжаем

26.1 Определение дифференциала функции

26.2 Геометрический смысл

26.3 Правила нахождения дифференциалов

26.4 Инвариантность формы первого дифференциала

26.5 Определение дифференциалов высших порядков

27. Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма (необходимое условие экстремума).

Определение критической и стационарной точек функции.

27.1 Определение экстремума

27.2 Теорема Ферма

27.3 Определение критической и стационарной точек функции

28. Доказать теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем. Записать теорему

Лагранжа в виде формулы конечных приращений. Доказать теорему Коши.

28.1 Теорема Ролля

Поверили? А она не всегда работает ахахахах

28.2 Теорема Лагранжа

28.2.1 Формула конечных приращений

28.3 Теорема Коши

29. Сформулировать правило Лопиталя-Бернулли и доказать его для случая неопределенности 0 0 . Раскрытие неопределенностей других видов. Доказать теорему о сравнении роста показательной, степенной и логарифмической функций при x → + .

правило Лопиталя-Бернулли

Если:

Доказательство:

0

30. Определение многочлена Тейлора. Доказать теорему о нем (о равенстве значении функции и ее производных в точке 0 x соответствующим значениям многочлена Тейлора и его производных в этой точке).

30.1 Многочлен Тейлора

30.2 Теорема о многочлене тейлора собственно и является выводом этой формулы…

31.Сформулировать теоремы о представимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом: (а) в форме Пеано; (б) в форме Лагранжа. Формула Маклорена, как частный случай формулы Тейлора. Вывести разложения по формуле Маклорена функций: , sin , x e x cos x , ln(1 ) + x , (1 ) p + x . Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям (с оценкой погрешности). Применение формул Маклорена к вычислению пределов.

31.1 Формула Пеано

31.2. Формула Лагранжа

31.3. Формула Маклорена

31.4. Разложение

31. Применение формулы Тей

31. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

32. Доказать достаточное условие и сформулировать необходимое условие монотонности дифференцируемой функции. Доказать достаточные признаки экстремума функции: первый (в критической точке – по первой производной); второй (в стационарной точке – по второй производной).

первый достаточный признак экстремума функции

чуть более умными словами

второй достаточный признак экстремума функции

33. Определение выпуклости функции (её графика) на промежутке. Доказать достаточное условие выпуклости графика.

34. Определение точки перегиба графика. Доказать необходимое условие перегиба графика в данной точке. Доказать достаточное условие перегиба графика в точке.

Необходимое условие перегиба графика

Достаточное условие перегиба графика

35. Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика.

*36. Определение векторной функции скалярного аргумента как отображения из R в R 2 или R3 , годограф векторной функции. Определение предела и непрерывности векторной функции. Определение производной векторной функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной к плоской и пространственной кривой, заданной параметрически. Правила дифференцирования векторной функции (вывод на усмотрение экзаменатора). Доказать теорему о производной векторной функции постоянной длины; ее геометрическая интерпретация.

Предел векторной функции.

Непрерывность векторной функции.

Производная векторной функции.

геометрический смысл

механический смысл

*37. Определение длины дуги пространственной или плоской кривой. Написать формулу для производной и дифференциала длины дуги кривой, заданной параметрически. Вывести формулы для производной и дифференциала длины дуги: (а) графика функции; (б) кривой, в полярных координатах. Вывести геометрический смысл дифференциала длины дуги графика функции.

*38. Определение кривизны кривой. Формулы для кривизны плоской кривой, заданной явно или параметрически.

Кривизна плоской кривой.

Кривизна кривой есть количественная мера ее искривленности.

*39. Определение радиуса и центра кривизны плоской кривой. Эволюта и эвольвента плоской кривой, их свойства.