Московский авиационный институт

/государственный университет/

Филиал «Взлет».

Курсовая работа

по Теории вероятности и математической статистике

Выполнил: студент группы

Р 2/1 Костенко В.В.

Проверил: Егорова Т.П.

г.Ахтубинск 2004 г.

Содержание

Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения

Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины

Задание №3: Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Список используемой литературы

Задание №1. Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы

Определение: При неограниченном увеличении числа опытов n частота события A сходится по вероятности к его вероятности p.

План проверки: Составить электрическую схему из последовательно и параллельно соединенных 5 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi < 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в среде Turbo Pascal .

Схема:

Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли:

Расчет:

Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.

Математическое моделирование в среде Turbo Pascal

Program KURSOVIK;

Uses CRT;

Const c=5;

Var op,i,j,n,m:integer;

a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;

p:array[1..c] of real;

x:array[1..c] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;

Writeln(' Опытов: Исходы: Вероятность:'); Writeln;

For op:=1 to 20 do Begin

n:=op*100;m:=0;

Write(' n=',n:4);

For i:=1 to n do Begin

For j:=1 to c do Begin

x[j]:=0;

a:=random;

if a

End;

rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);

If rab>0 then m:=m+1;

End;

pp:=m/n;

writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);

End;

ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp:=ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);

Readln;

End.

Результат работы программы

Опытов: Исходы: Вероятность:

n= 100 M= 94 P*= 0.940

n= 200 M= 163 P*= 0.815

n= 300 M= 247 P*= 0.823

n= 400 M= 337 P*= 0.843

n= 500 M= 411 P*= 0.822

n= 600 M= 518 P*= 0.863

n= 700 M= 591 P*= 0.844

n= 800 M= 695 P*= 0.869

n= 900 M= 801 P*= 0.890

n=1000 M= 908 P*= 0.908

n=1100 M= 990 Р*= 0.900

n=1200 M= 1102 P*= 0.918

n=1300 M= 1196 P*= 0.920

n=1400 M= 1303 P*= 0.931

n=1500 M= 1399 P*= 0.933

n=1600 M= 1487 P*= 0.929

n=1700 M= 1576 P*= 0.927

n=1800 M= 1691 P*= 0.939

n=1900 M= 1782 P*= 0.938

n=2000 M= 1877 P*= 0.939

Вероятность в опыте: p= 0.939

Теоретический расчёт вероятности работы цепи:

I способ:

II способ:

Вывод: Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события P(A) = 0.939.

Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения

Моделирование случайной величины, имеющей геометрический закон распределения:

(X=xk) = p(1-p)^k

где x_k = k=0,1,2…, р – определяющий параметр, 0k) получим теоретический многоугольник распределения, изображённый на рис.1.

По ряду распределения составим теоретическую функцию распределения F(x), изображённую на рис.2. Смоделируем дискретную случайную величину, имеющую геометрический закон распределения, методом Монте – Карло. Для этого надо:

1. Разбить интервал (0;1) оси ОК на k частичных интервалов:

₁ – (0;р₁), ₂ – (р₁;р₁+р₂) … _k – (p₁+p₂+…+p_k-1;1)

1. Разбросать по этим интервалам случайные числа r_j из массива, смоделированного датчиком случайных чисел в интервале (0;1). Если r_j попало в частичный интервал _I, то разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение x_i.

По данным разыгрывания составим статистический ряд распределения Р*(Х) и построим многоугольник распределения, изображенный на рис.1. Построим статистическую функцию распределения F*(X), изображённую на рис.2. Теперь посчитаем теоретические и статистические характеристики дискретной случайной величины, имеющей геометрический закон распределения.

Рис.1.

Рис.2.

Задание №2. Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины

Программа в Turbo Pascal:

Program kursovik;

Uses crt;

Const M=300;

Var

K,I:integer;

P,SI,SII,SP,DTX,DSX,MX,MSX,GT,GS:real;

X:array[1..300] of real;

PI,S,P1,MMX,MS,D,DS,PS,STA,STR:ARRAY[0..10] OF REAL;

BEGIN;

CLRSCR;

randomize;

{ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД}

WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:');

P:=0.4; SI:=0;

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

IF K=0 THEN PI[K]:=P ELSE

IF K=1 THEN PI[K]:=P*(1-P) ELSE

IF K=2 THEN PI[K]:=P*SQR(1-P) ELSE

IF K=3 THEN PI[K]:=P*SQR(1-P)*(1-P) ELSE

IF K=4 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P)) ELSE

IF K=5 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*(1-P) ELSE

IF K=6 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P) ELSE

IF K=7 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P)*(1-P) ELSE

IF K=8 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P))) ELSE

IF K=9 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*(1-P) ELSE

IF K=10 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*SQR(1-P) ELSE

SI:=SI+PI[K];

WRITELN(' P[',K,']=',PI[K]:6:5);

END;

READLN;

WRITELN('ИНТЕРВАЛЫ:');

P1[1]:=0.4;

FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN

P1[K+1]:=PI[K]+P1[K];

WRITELN( 'PI[',K,']=',P1[K]:6:5);

END;

READLN;

{СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД}

WRITELN;

WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД:');

FOR I:=1 TO 9 DO BEGIN

X[I]:=RANDOM;

WRITE(X[I]:5:2);

END;

READLN;

FOR I:=10 TO 99 DO BEGIN

X[I]:=RANDOM;

WRITE(X[I]:5:2);

END;

READLN;

FOR I:=100 TO 200 DO BEGIN

X[I]:=RANDOM;

WRITE(X[I]:5:2);

END;

READLN;

FOR I:=201 TO 300 DO BEGIN

X[I]:=RANDOM;

WRITE(X[I]:5:2);

END;

READLN;

PS[K]:=0;

FOR I:=1 TO M DO BEGIN

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

IF ((X[I]=P1[K-1])) THEN BEGIN

PS[K]:=PS[K]+1;

END;

END;

END;

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

STA[K]:=PS[K+1]/M;

WRITELN('P*[',K,']=',STA[K]:6:5);

END;

WRITELN;

WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНТЕРВАЛЫ:');

STR[1]:=STA[0];

FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN

STR[K+1]:=STR[K]+STA[K];

WRITELN(' PS[',K,']=',STR[K]:6:5);

END;

READLN;

{ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx}

MX:=0;

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

MMX[K]:=K*PI[K];

MX:=MX+MMX[K];

END;

WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ MX:',MX:6:5);

MSX:=0;

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

MS[K]:=K*STA[K];

MSX:=MSX+MS[K];

END;

WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx*:',MSX:6:5);

WRITELN;

{ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx}

DTX:=0; DSX:=0;

FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN

D[K]:=SQR(K-MX)*PI[K];

DTX:=DTX+D[K];

DS[K]:=SQR(K-MSX)*STA[K];

DSX:=DSX+DS[K];

END;

WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx:',DTX:6:5);

WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx*:',DSX:6:5);

WRITELN;

{ТЕОР И СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G}

GT:=SQRT(DTX);

GS:=SQRT(DSX);

WRITELN('ТЕОР СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G:',GT:6:5);

WRITELN('СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G*:',GS:6:5);

WRITELN;

READLN;

END.

Результаты:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:

P[0]=0.40000

P[1]=0.24000

P[2]=0.14400

P[3]=0.08640

P[4]=0.05184

P[5]=0.03110

P[6]=0.01866

P[7]=0.01120

P[8]=0.00672

P[9]=0.00403

P[10]=0.00242

ИНТЕРВАЛЫ:

PI[1]=0.40000

PI[2]=0.64000

PI[3]=0.78400

PI[4]=0.87040

PI[5]=0.92224

PI[6]=0.95334

PI[7]=0.97201

PI[8]=0.98320

PI[9]=0.98992

PI[10]=0.99395

Статистический ряд:

0.57 0.86 0.58 0.11 0.81 0.26 0.17 0.14 0.51 0.53 0.80 0.57 0.17 0.14 0.30 0.58 0.80 0.55 0.86 0.81 0.80 0.18 0.39 0.02 0.74 0.67 0.57 0.32 0.30 0.92 0.64 0.95 0.96 0.25 0.10 0.87 0.44 0.76 0.87 0.43 0.84 0.58 0.62 0.87 0.90 0.70 0.20 0.62 0.08 0.54 0.53 0.47 0.08 0.40 0.30 0.09 0.26 0.54 0.29 0.60 0.95 0.52 0.27 0.99 0.54 0.84 0.75 0.74 0.03 0.42 0.98 0.92 0.32 0.07 0.06 0.49 0.36 0.15 0.03 0.75 0.05 0.17 0.20 0.03 0.54 0.76 0.28 0.16 0.09 0.58 0.96 0.29 0.92 0.88 0.92 0.03 0.57 0.78 0.61 0.05 0.71 0.67 0.10 0.62 0.39 0.10 0.01 0.72 0.27 0.09 0.14 0.60 0.24 0.88 0.40 0.07 0.43 0.39 0.28 0.84 0.68 0.93 0.66 0.65 0.81 0.02 0.02 0.05 0.32 0.29 0.17 0.10 0.34 0.81 0.02 0.26 0.02 0.34 0.23 0.28 0.66 0.43 0.52 0.00 0.16 0.17 0.07 0.11 0.75 0.21 0.37 0.45 1.00 0.29 0.35 0.37 0.54 0.28 0.63 0.25 0.08 0.67 0.30 0.17 0.58 0.93 0.64 0.25 0.68 0.06 0.39 0.35 0.79 0.43 0.80 0.99 0.36 0.64 0.52 0.65 0.29 0.02 0.81 0.01 0.53 0.98 0.89 0.61 0.25 0.32 0.44 0.99 0.14 0.30 0.28 0.44 0.83 0.97 0.01 0.72 0.36 0.09 0.03 0.57 0.21 0.66 0.26 0.80 0.39 0.95 0.48 0.10 0.59 0.39 0.94 0.25

0.28 0.86 0.03 0.98 0.36 0.13 0.80 0.88 0.82 0.64 0.76 0.08 0.28 0.70 0.31 0.49 0.58 0.84 0.60 0.03 0.72 0.04 0.81 0.86 0.84 0.85 0.03 0.87 0.96 0.77 0.28 0.59 0.75 0.38 0.40 0.55 0.57 0.04 0.70 0.70 0.46 0.21 0.79 0.21 0.88 0.70 0.89 0.10 0.35 0.30 0.44 0.25 0.40 0.80 1.00 0.84 0.29 0.16 0.68 0.28 0.48 0.41 0.49 0.17 0.98 0.58 0.53 0.83 0.84 0.70 0.76 0.44 0.40 0.64 0.81 0.89 0.32 0.39 0.21 0.77 0.22 0.05 0.76 0.24

P*[0]=0.44333

P*[1]=0.21000

P*[2]=0.12667

P*[3]=0.11000

P*[4]=0.04000

P*[5]=0.02333

P*[6]=0.01667

P*[7]=0.01000

P*[8]=0.01000

P*[9]=0.00333

P*[10]=0.00148

Статистические интервалы:

PS[1]=0.44333

PS[2]=0.65333

PS[3]=0.78000

PS[4]=0.89000

PS[5]=0.93000

PS[6]=0.95333

PS[7]=0.97000

PS[8]=0.98000

PS[9]=0.99000

PS[10]=0.99333

Числовые характеристики:

MX:1.45465

Mx*:1.36478

Dx:3.29584

Dx*:3.20549

G:1.81544

G*:1.79039

Задание №3. Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x).

D = max | F*(x)- F(x)|

D = 0.04

Далее определяем величину по формуле:

= D\| n ,

где n – число независимых наблюдений.

= D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693

и по таблице значений вероятности P() находим вероятность P().

P() = 0,711.

Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое.

Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.

Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x).

D = max | F*(x)- F(x)|

D = 0.04

Далее определяем величину по формуле:

= D\| n ,

где n – число независимых наблюдений.

= D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693

и по таблице значений вероятности P() находим вероятность P().

P() = 0,711.

Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое.

Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.

Список используемой литературы

1. «Теория вероятностей» В. С. Вентцель.

2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л. А. Овчаров.

3. «Справочник по вероятностным расчётам».

4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В.Е.Гмурман.

5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В. Е. Гмурман.