85984 (Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції)
Описание файла
Документ из архива "Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85984"
Текст из документа "85984"
Міністерство освіти і науки України
Черкаський національний університет Імені Богдана Хмельницького
Кафедра математики та методики навчання математики
Кваліфікаційна робота з математики
Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Автор:
Вишемірська Тетяна Володимирівна
Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет
Науковий керівник:
Доктор фізико-математичних наук, професор
Стеблянко Павло Олексійович
Черкаси 2010
Зміст
Вступ
-
В-сплайни
-
Базис із В-сплайнів
-
В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків
-
Лінійні В-сплайни
-
Квадратичні В-сплайни
2. Кубічні В-сплайни
2.1Формули задання кубічних B-сплайнів
2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами
2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах
3. Практична частина
3.1Задача №1
3.2Задача №2
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розв’язані апроксимаційні задачі, на розв’язання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і з’явилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розв’язуванні практичних задач.
Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс «Чисельні методи», як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі «Рівняння математичної фізики» для розв’язування нерозв’язних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розв’язуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розв’язати іншими, відомими, методами.
В-сплайн – це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n – порядок сплайна.
Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. З’ясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розв’язуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.
Для досягнення мети були поставлені такі завдання:
– знайти і опрацювати літературу із даної теми;
– систематизувати опрацьований матеріал;
– отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;
-
визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;
1 B-сплайни
1.1 Базис із В-сплайнів
Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.
Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:
Лема 1. Нехай - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .
Теорема 1. Система із В-сплайнів
, (1) порядку за розбитям з носіями є базисом в .
Доведення. Нехай
, ; (2) потрібно довести, що ( ). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що при ; але тоді з урахуванням (2)
, і в силу леми 1 для . Таким чином,
, .(3)
Оскільки на проміжку , а при , то із (3) слідує, що , так що
, .
Для при і при , а тому і
, .
Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності
що й треба було довести.
Наслідок 1. Будь-який сплайн із єдиним чином представляється у вигляді
, .(4)
Якщо сплайн із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].
1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків
В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:
, (5)
Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:
Зокрема, якщо , то [2].
В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:
, (6)
де , . (7)
При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].
Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є
, (8)
де , [3]. (9)
1.3 Лінійні B-сплайни
Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.
Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:
(10)
Підставивши у (10) формулу (5) маємо:
(11)
Або у випадку рівномірної сітки з кроком ( ) отримаємо:
(11’)
Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:
Мал. 1 - Графік В-сплайна
1.4 Квадратичні B-сплайни
Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:
(12)
Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:
(13)
А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:
(13’)
Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:
, (14)
а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].
Графік В-сплайна 2-го - - степеня представлено на малюнку 2:
Мал. 2 - Графік В-сплайна
В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному вузлами) [4].
2 Кубічні B-сплайни
2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів
Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:
Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку [5]. Запишемо тепер у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:
(15’)
Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:
Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну
2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
Функція :
а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;
б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках
Відрізок називають носієм функції [6].
Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:
,взятими довільно.
За розширеною сіткою:
: можна побудувати сім’ю з кубічних В-сплайнів:
,
Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:
Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення і першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти обчислюються із системи наступного вигляду:
, де (16)
Після виключення і отримується лінійна система з невідомими і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].
При розв’язанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки: і . І коефіцієнти вже обчислюються із системи:
(16’)
таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.
2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами