45-52 (Теория)
Описание файла
Документ из архива "Теория", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "интегралы и дифференциальные уравнения (ииду)" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "высшая математика (интегралы и дифференциальные уравнения)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "45-52"
Текст из документа "45-52"
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
45.Системы ду. Задача Коши и теорема Коши сущ-я и ед-ти решения нормальной сиситемы(формулировка)+пример
51.Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем(н=2)+пример
46.Связь м/д нормальными системами ду и ду высших порядков. Опишите алгоритм сведения
уравнения к системе и системы к ур-ю.+пример
49.Формула Остроградского-Лиувилля для систем однородных ЛДУ(н=2)+пример
47.Первые интегралы системы и понижение её порядка.
Интегрируемые комбинации. Симметричная форма записи.
Сф-те опр-я + пример
Симметричная форма системы дифференциальных уравнений
Для нахождения первых интегралов иногда удобно записать исходную систему в т.н. симметричной форме:
Здесь предполагается, что функции f1, f2, ..., fn в знаменателях не равны нулю в области определения D ∈ ℜn.
В такой записи некоторые пары отношений могут допускать интегрирование, например, методом разделения переменных. Другой способ решения системы в симметричной форме заключается в использовании свойства равных дробей
где предполагается, что λ1b1 + λ2b2 + ... + λnbn ≠ 0, а числа λ1, λ2, ..., λn выбираются таким образом, чтобы числитель представлял собой дифференциал знаменателя или был равен нулю.
Пример.
Решить систему уравнений
Решение.
Запишем систему в виде 
Сложив оба уравнения, получаем 
Отсюда находим первый интеграл системы: 
где C1 − произвольное число, не равное нулю.
Выразим решения x(t), y(t) в явном виде. В первое уравнение подставим выражение y = C1/x и проинтегрируем:
где C2 ≠ 0 − произвольная постоянная.
Теперь найдем выражение для y(t): 
Окончательный ответ: 
48.Дайте опр-е общего решения системы ду.Сф-те док-те т. о структуре общего решения однородн системы. Фундаментальная матрица системы + пример
Общее решение (8) на отрезке 
с непрерывными на этом отрезке коэффициентами 
и правыми частями 
равно сумме общего решения соответствующей однородной системы (9) и частного решения 
неоднородной системы (8).( 
, тогда (6) можно переписать в виде: 
,(8) если 
то 
(9))
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Здесь
Матрица Φ, столбцами которой являются n линейно независимых на [a, b] решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y' = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A(x)Φ.
Здесь
--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениями x1(t), x2(t), ..., xn(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:
где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t), ..., xn(t).
Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество
Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):
Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица.
Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде
где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.--------------
Пример.
Составить линейную систему уравнений, имеющей решения
Решение.
В задаче задана фундаментальная матрица системы: 
Вычислим обратную матрицу Φ−1(t):
Здесь через Cij обозначена матрица алгебраических дополнений к элементам фундаментальной матрицы Φ(t). Матрица коэффициентов системы уравнений находится по формуле
Производная фундаментальной матрицы (она вычисляется поэлементно) равна 
Отсюда получаем
Следовательно, система уравнений, решения которой равны x1(t), x2(t), записывается в виде
50. Дайте опр-е общего решения системы ду.Сф-те док-те т. о структуре
общего решения неоднородн системы.
52.Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Хар. ур-е.Построение общего реш (случай различных действит корней)+примеры
