22-31 (Теория)

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

22.Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, огранич кривыми, заданными в декартовой и полярной системах координат(+док)

23.Вычисление объёмов тел по площадям поперечных сечений. Объём тела, обазов вращением криволин трапеции вокруг ох(+док).

24.Формула для объёма тела, образованного вращением кривол трапеции вокруг оу(+док)

25.Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах(+док).

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f ( x), a ≤ x ≤ b, где

f ( x) – непрерывная вместе со своей производной на отрезке [ а, b] функция. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А = М₀, М₁, М₂, … , M_{i - 1}, M_i, …, M_n = B. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломанную линию, длину которой обозначим через Р.
   Обозначим через l _i длину одного звена M_{i - 1} M_i ломаной линии, а через μ — длину наибольшего из ее звеньев: .
   Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при μ → 0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой μ < δ, выполняется неравенство | L − P | < ε.
   Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при μ → 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:

   Доказательство. Обозначим через x_i и f ( x_i) координаты точек М _i. Длина одного звена ломаной равна

По формуле Лагранжа конечных приращений имеем

,

Следовательно, , Δ x_i = x_i − x_{i − 1}. Таким образом, длина ломаной равна

.

Так как функция непрерывна на [а, b], то предел суммы Р _n при существует. Так как λ ≤ μ и λ → 0 при μ → 0, то

26.Длина дуги. Вычисление дуги кривых, заданных в полярных координатах и параметрически.

Для ее доказательства заметим, что разбиение порождает разбиение дуги кривой точками и длину ломанной , где и .По теореме о среднем для производной существует набор и точек на отрезках , для которых и . Тогда длина ломаной равна .

Полученное выражение по форме отличается от интегральной суммы функции , поскольку наборы и ,вообще говоря , различные.

Если интегральная сумма функции на отрезке соответствующая разбиению ,то . Для любого . Вторая часть оценки использует « неравенство треугольника» .

В предположении непрерывности производных и колебания и - бесконечно малые функции в точке , поэтому существует такое , что для любых . Тогда для разбиений

.

27.Площадь пов-ти вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат(ось вращения ох)+пример

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

28.ДУ 1-го порядка, определ-е частного решения

и интегральной кривой. Задача Коши и её геом

интерпретация. Сф-те теорему Коши существования

и единственности решения.+пример

29.ДУ 1-го порядка, его геом интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сф-те определ-я и примеры.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши.

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.

Изоклиной ду называется множ-во точек пл-ти, в каждой из которых угловой коэф касательной к интегральным кривым этого ур-я имеет постоянное значение. Очевидно, ур-е изоклины имеет вид: f(x,y)=k, где к-значение углов коэф качательной. Изоклины – линии уровня ф-ции f(x,y).

Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e^2x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
     Решение. Данное уравнение является линейным.
     Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e^2x.
     Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e^{2 x} или U'υ+U(υ'+3υ)= e^2x.
     Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем:     ln υ =–3x,υ=e^–3x.
     Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
     .
     Итак, общее решение данного уравнения имеет вид: .
     Найдем частное решение. Для этого подставим  начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
     .
     Частное решение имеет вид: .

30.ДУ n-го порядка. Задача Коши. Её геом интерпретация для n=2.Теорема Коши сущ-я и единств-ти решения ду(формулировка). Краевая задача.

Краевая задача — ду (система ду) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример краевой задачи:

(система неоднородных ОДУ с переменными коэффициентами, заданная на участке )

Граничные условия (общий вид для всех краевых задач):

Где  — матрицы,  — вектор неизвестных,  — -вектор (делающий систему неоднородной),  — -вектор

Общий вид решения:

Удовлетворение граничных условий достигается за счёт подбора коэффициентов . Эти коэффициенты находятся путём решения системы линейных уравнений.

31.Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения. +пример