11-21 (Теория)

11.Опр-е среднего значения функции на отрезке. Док-те теорему о среднем. Геом и механич смысл.

или

12.О.и. с переменным верхним пределом. Т. о его производной и формула Ньютона-Лейбница(+док).

Ф-ла Ньютона-Лейбница

13.Сформул. и док-те т. о замене переменной и об интегрировании по частям в о.и.

14.Интегрирование чётных и нечётных ф-ций на отрезке, симметричном относительно нач коорд. Интегрирование периодич ф-ций. Док-те формулы.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

15.Н.и.по бесконечному промежутку(1го рода). Сходящ и расход интегралы. Сформулир и док-те их св-ва. Исследуйте сходимость интеграла ᶴ₁^+∞ dx/x^a в зависимости от а.

Исследование.

16.Несобств интегралы от неограниченной ф-ции(2го рода). Сход и расход интегр. Св-ва+док-

Пусть f(x) определена на (a,b], терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся.

Пусть f(x) определена на (a,b], терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

Если , то используется обознач….

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Свойства.

1)     Если интеграл  сходиться, С – некоторое число, то интеграл  также сходиться и

2)     Если интегралы  и  сходятся, то интеграл  только сходится и

3)     Если функции  и  интегрируемы при , то

4)     Пусть функция f(x) непрерывна при x>=a , функция  определена, непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке  конечном или бесконечном, где <

Тогда

17.Сф-те и док-те признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов.

Д-во

18.Сф-те и док-те предельный признак сравнения несобств интегр.

Пример.

20.Абс и усл сход н.и. Сф-те определ и св-ва.

Примеры абс и усл.

Несобственный интеграл I= называется: а)абсолютно сходящимся, если сходится интеграл = , в этом случае говорят, что ф-ция f абс. интегрируема на промежутке [a;b); б)условно сходящимся, если интеграл I сходится, а расходится.

Свойства несобственных интегралов

19.Абсолютно и условно сходящиеся н.и. Сф-те определения и док-те, что /_a^b |f(x)|dx<∞ =>

/_a^b f(x)dx<∞

Рассмотрим

21.Несобственные инт с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Определения и примеры