ztm3 (Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика), страница 2

,

л

Рисунок 15.23

ибо

п

Приём разложения силы на составляющие

риём переноса силы вдоль линии её действия и разложения на две составляющие (см. рис.24) -

, т.е.

Рисунок 15.24

,

откуда, после подстановки числовых значений, находим:

кН.

кН.

70

Знак «минус» означает, что первоначально принятое направление для оказалось ошибочным; но теперь мы установили, что в действительности эта сила направлена справа-налево.

. Откуда:

кН.

П

К условию примера15.5

РИМЕР 15.5.- На произвольную прост-

ранственную систему сил при

исп ользовании одной тройки осей

Д

Рисунок 15.25

ано. Вал АВ с жёстко насаженными на него двумя косозубыми колёсами (см. рис.25) находится в равновесии под действием сил ; кН, кН, кН, , ; см, см, см, см; .

О

К решению примера 15.5

пределить , а затем и реакции в подшипниках А и В.

Р

Рисунок 15.26

ешение.- Применяя принцип освобождае-мости от связей, принимаем к рассмотрению (и изображаем на рис.15.26) вал АВ с зубчатыми колёсами. Показываем все внешние, действующие на принятое к рассмотрению тело, силы. Реакции в подшипниках представляем составляю-щими; причём, задачу считаем статически определимой (о чём речь будет ниже), т.е. считаем, что вдольосевая составляющая реакции возникает лишь на одной (левой) опоре - .

Составляем уравнения равновесия и решаем их.

.

71

Используем правило 15.4: «момент силы относительно параллельных и пересекающих её осей равен нулю». Получаем:

. Откуда кН.

Из заданных по условию соотношений: кН и кН.

Процедура составления уравнений равновесия оказывается существенно более простой и понятной, если вначале составить таблицу проекций сил и координаты точек их приложения.

Таблица проекций сил (кН) и координат точек(см) их приложения (к примеру 15.5)

	т. С				т. D
x, X	25	-4	0	0	10	12	0	0
y, Y	7,5	0	-1,5	8,66	0	0	0	30
z, Z	-13	0	2,6	5	5	0	-9	0

Составляем уравнения моментов относительно осей y и z. При вычислениях моментов отдельных сил воспользуемся способом перестановки индексов, в соответствии с которым:

.

Тогда

кН.

Теперь составляем остальные уравнения равновесия:

кН.

кН.

кН.

Итак, в результате решения задачи, получено:

и имеют направления, противоположные указанным на рис.15.26 (для остальных сил направления соответствуют первоначально принятым).

Обоснование «применяя к рассмотрению принцип освобождаемости от связей» применено многократно. С целью сокращения письма оно в дальнейшем будет опускаться.

72

П

К условию примера 15.6

РИМЕР 15.6.- На произвольную простр.

с истему сил; иллюстрирована простота решения за счёт удачного выбора осей

Дано: плита весом кН удержи-вается в равновесии с помощью стержней 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (рис.15.27); м, м, м; действующие на плиту силы: кН и кН.

Определить усилия в стержнях.

Р

Рисунок 15.27

К решению примера 15.6

15.28

ешение.- Принимаем к рассмотрению плиту (см. рис.15.28). Изображаем все действующие на неё силы. Заранее установить для всех стержней какой из них сжат, какой растянут, невозможно. По этой причине реакции направляем в предположении растянутости этих стержней, а затем, используя приём отрицательного модуля, уточним.

Вначале попробуйте решить задачу самостоятельно, используя основную форму уравнений равновесия (как это было сделано в примере 15.5).

Е

Рисунок 15.28

сли Вы это сделаете, то заметите, что ниже приведенное решение существенно более простое.

Обращаем внимание, что в приведенном решении синусы и косинусы выражены через отношения катетов к гипотенузам соответствующих треугольников и что м.

кН.

кН.

Из находим, что и учитываем это в ниже следующем уравнении равновесия:

Откуда

кН.

73

В следующем уравнении при вычислении момента силы её удобно перенести по линии действия в точку Е и разложить по осям и .

Откуда:

кН.

кН.

Итак, стержни 1 и 4 растянуты; 2, 3, 5 и 6 сжаты. Усилия в них равны, соответственно: 200 и 1900; 1000, 2500, 1000 и 1000 кН.

В примере 15.6 при составлении уравнений равновесия брались оси, принадлежащие различным системам отсчёта, что позволило получить решение задачи существенно более простое, чем при использовании одной тройки осей. Такие задачи, допускающие удачный выбор осей, широко распространены в инженерной практике, но в общем случае рассчитывать на подобную простоту не следует.

В общем случае можно рассчитывать лишь на возможность выделения из системы 6-ти уравнений равновесия подсистемы 3-х линейно независимых уравнений с тремя неизвестными;

например, можно находить 3 не совпадающие друг с другом и не лежащие в одной плоскости оси, каждая из которых пересекает линии действия одних и тех же трёх неизвестных, не параллельных друг другу сил. Но поиск подобных осей приводит к своим сложностям. Поэтому подход к решению наиболее сложных задач на равновесие тел, находящихся под действием произвольной пространственной системы сил, рассмотрим на примере 15.7.

П

К условию примера 15.7

РИМЕР 15.7*.- На произвольную прост-

р анственную систему

сил, сложный случай

Д

Рисунок 15.29

ано: изображённое на рис.29 тело находится под действием трёх сил ( , вес ) и удержива-ется в равновесии с помощью стержней 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Стержни с взаимодейству-ющими с ними телами соединены сфери-ческими шарнирами, а их положение опи-сано в таблицах 15.1 и 15.2.

74

Табл.15.1 к примеру 15.7 - Координаты точек тела

	О	А	В	С		D	E	H	K
x, см	0	0	0	0	80		80	40		0
y, см	0	30	70	100	100		20	50		70
z, см	0	20	20	-10	-10		-10	20		0

Табл. 15.2 к примеру 15.7 - Направляющие косинусы для реакций стержней

	Номера стержней
	1	2	3	4	5	6
x
y
z

К решению примера 15.7

Определить усилия в стержнях.

Р ешение.- Принятое к рассмотрению тело и все действующие на него силы изображаем на рис.15.30. Т.к. направляю-щие косинусы связаны соотношением

1 5.29 , то

.

Аналогично вычисляем остальные неизвестные направляющие косинусы:

Рисунок 15.30

15.30

.

Составляем уравнения равновесия (оси указаны на рис.15.30).

75

.

Т.е. получена следующая расширенная матрица системы шести уравнений с шестью неизвестными:

Используя стандартные программы компьютерной техники, получаем:

Вначале решения задачи принималось, что все стержни растянуты. В результате полученного решения видим:

стержни 2 и 5 растянуты; 1, 3, 4, 6 - сжаты.

С целью проверки правильности компьютерного решения системы уравнений, полученные результаты подставляем в составлявшиеся уравнения равновесия и вычисляем невязки (разности между левыми и правыми частями).

При правильном решении свободные члены должны на несколько порядков превышать невязки. В рассматриваемом примере так оно и есть. Поэтому полученное компьютерное решение системы уравнений равновесия доверительно.

15.6. Равновесие сложных устройств, состоящих из просто сочленённых частей

У стройство из просто сочленённых частей – это механическая система, позволяющая находить такие последовательности рассмотрения её частей, при которых каждая из составленных систем уравнений равновесия даёт возможность определить все, входящие в неё, неизвестные реакции связей.

Рассмотрим этот, часто встречающийся, тип задач на трёх примерах (15.8, 15.9 и 15.10).

76

П

К условию примера 15.8

РИМЕР 15.8.- Конструкция, состоящая из п росто сочленённых частей; плос-

кая система сил, простейший случай