где – крутизна, – начальное напряжение ВАХ. Выбор рабочей точки усилителя осуществляется подачей напряжения смещения . Рассчитайте и постройте колебательную характеристику (зависимость амплитуды первой гармоники тока от амплитуды входного гармонического напряжения ) для , для и для . При построении графиков учтите (качественно) насыщение усилителя при больших амплитудах сигнала.

1. Для усилителя, описанного в предыдущей задаче, рассчитайте и постройте графики зависимости средней крутизны от амплитуды входного напряжения. Каким будет режим возбуждения генератора, построенного на основе этого усилителя, охваченного положительной обратной связью?

2. На рис. 14 показана схема RC-генератора колебаний с мостом Вина. Считая входное сопротивление усилителя (обозначенного треугольником) бесконечно большим, найдите коэффициент обратной связи. Определите значение коэффициента усиления , при котором выполняется баланс амплитуд. Найдите значение частоты генерируемых колебаний (используйте условие баланса фаз, считая усилитель неинвертирующим).

Рис. 14

7. КАНАЛЫ СВЯЗИ

1. Составной частью цифрового канала связи служит аналоговый канал. Определите требуемую полосу пропускания аналогового канала, если для реализации цифрового канала используются прямоугольные радиоимпульсы (посылки) длительностью 10 мкс с частотой заполнения 10 МГц. (Эффективную ширину спектра определите по энергетическому критерию при .)

2. В условиях предыдущей задачи найдите частотную полосу канала, необходимую для передачи радиоимпульсов гауссовской («колокольной») формы. Огибающая радиоимпульса описывается выражением , где значение нужно определить так, чтобы эффективная длительность импульса составляла также 10 мкс.

3. Аналоговый канал связи является линейным стационарным и удовлетворительно аппроксимируется моделью простейшего фильтра нижних частот (RC-цепи). Определите спектральную плотность мощности процесса на выходе такого канала, если на его вход поступает стационарный случайный сигнал с автокорреляционной функцией вида , а постоянная времени канала (эквивалентной RC-цепи) равна .

4. В системе проводного радиовещания используется усилитель с амплитудной характеристикой, аппроксимируемой функцией вида

где – коэффициент усиления на линейном участке характеристики; – максимальное абсолютное значение выходного напряжения. Постройте график характеристики. Найдите коэффициент нелинейных искажений для случая, когда на вход усилителя воздействует гармоническое колебание амплитуды, на 5 % превосходящей значение

1. Канал с аддитивным гауссовским шумом (АГШ) описывается выражением , где – частотно-независимый коэффициент передачи канала; – сигнал на входе; – процесс на выходе канала; – гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, имеющий нулевое среднее и дисперсию . Полагая, что сигнал представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и дисперсией , определите отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе канала (сигнал и шум считайте взаимно некоррелированными).

2. На вход АГШ-канала поступает смесь сигнала с шумом (и сигнал, и шум – гауссовские стационарные взаимно некоррелированные процессы с нулевыми средними), при этом отношение сигнал/шум на входе канала равно 10 дБ. Определите ОСШ на выходе канала, описываемого выражением , где – частотно-независимый коэффициент передачи канала; – гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, имеющий нулевое среднее и дисперсию , некоррелированный по отношению к составляющим смеси .

3. В стационарном симметричном канале без памяти ошибки при приеме различных символов являются статистически независимыми и происходят с вероятностью . Вероятность получения ошибок при передаче символов подчиняется биномиальному закону . Выведите формулы определения вероятностей:

– безошибочного приема;

– того, что в блоке из символов будет ошибочно принят хотя бы один символ;

– того, что в блоке из символов будет и более ошибок.

8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

1. На входе дискретного канала без памяти действует источник без памяти с алфавитом, содержащим три символа , , . На выходе канала вырабатываются символы , , . Совместные вероятности пар символов определяются таблицей

p(i, j)	1	2	3
1	0,1	0,05	0,15
2	0,2	0,01	0,03
3	0,09	0,15	0,22

Определите все условные вероятности вида и . Найдите безусловные вероятности символов р(_i) и p(_j) для всех и .

1. Даны два дискретных источника и с алфавитами, содержащими по три символа ( , , и , , соответственно). Заданы все совместные вероятности

p(i, j)	1	2	3
1	0,06	0,08	0,6
2	0,09	0,12	0,09
3	0,15	0,2	0,15

Проверьте, являются ли источники независимыми.

1. На входе канала связи действует двоичный дискретный источник информации с алфавитом , вероятности символов равны и . При передаче символа 0 по каналу ошибка происходит с условной вероятностью , а при передаче символа 1 – с вероятностью . Считая выход канала источником , рассчитайте ненадежность, как условную энтропию .

2. В цифровой системе передачи данных используются два сигнала, которым соответствуют два символа, условно обозначаемые 0 и 1. Вероятности появления символов на выходе источника сообщений равны соответственно и . Постройте график зависимости энтропии источника (без памяти) от вероятности .

3. В цифровой системе черно-белого телевидения сообщением является полутоновое изображение, состоящее из точек (пикселов), яркость которых может принимать одно из 256 значений. Определите количество информации, содержащееся в одном изображении размерами 625×833, если значения яркостей отдельных пикселов представляют собой независимые случайные величины, имеющие равновероятное распределение.

4. Сообщение об исходе опыта – например, о номере шара, извлеченного наугад из урны с шарами (все шары пронумерованы от 1 до , шаров с одинаковыми номерами в урне нет, все исходы равновероятны), передано по каналу связи в виде слова 00101111. Переданное сообщение полностью сняло неопределенность относительно исхода опыта. Сколько вопросов с ответами типа «да», «нет» нужно было бы задать, чтобы полностью снять неопределенность относительно исхода этого опыта? Какое количество информации несет данное сообщение? Сколько шаров в урне?

5. На входе двоичного дискретного однородного симметричного канала со стиранием действует источник без памяти с алфавитом, состоящим из символов и , передаваемых с равными вероятностями. На выходе канала вырабатываются символы , , совпадающие соответственно с и , и символ стирания , означающий отказ приемника от принятия решения в пользу или . Имеют место следующие условные (переходные) вероятности:

;

.

Найдите апостериорные вероятности передачи символов и при приеме и , безусловную вероятность ошибочного приема и безусловную вероятность стирания [4].

1. Двоичный стационарный источник без памяти вырабатывает символы и с вероятностями 0,05 и 0,95 соответственно. Постройте коды Шеннона–Фано и Хаффмена для случаев кодирования пар и троек символов. Определите избыточность получаемых кодов.

2. Проверьте, является ли матрица

проверочной для кодовой матрицы

.

Найдите хэммингово расстояние между всевозможными парами строк порождающей матрицы (7,4)-кода Хэмминга.

9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ

ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

1. На выходе аналогового канала связи наблюдается колебание , представляющее собой либо шум (гипотеза ), либо сумму сигнала с шумом (гипотеза ). Считая шум гауссовским с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением (СКО) , а сигнал – прямоугольным видеоимпульсом амплитуды , запишите выражения плотности вероятности мгновенного значения смеси для обеих гипотез.

2. В условиях предыдущей задачи путем взятия однократного отсчета было получено значение . Найдите отношение правдоподобия. Каким должен быть порог для принятия решения согласно критерию максимального правдоподобия? Какое решение будет принято оптимальным демодулятором в данном случае?

3. В условиях задачи 1 известно, что априорная вероятность присутствия сигнала в смеси составляет 0,05, а СКО . Найдите порог, оптимальный по критерию идеального наблюдателя. Определите, какое должно быть принято решение при ; при .

4. В дополнение к условиям предыдущей задачи учтите, что потери в случае пропуска сигнала в 20 раз выше, чем в случае ложной тревоги. Определите порог, оптимальный по критерию Байеса. Определите, какое должно быть принято решение при ; при .

5. На выходе аналогового канала наблюдается колебание , представляющее собой либо шум , либо сумму сигнала с шумом. Считая шум гауссовским с нулевым средним и СКО , а сигнал – прямоугольным видеоимпульсом амплитуды , запишите отношение правдоподобия для выборки объема в пре-делах длительности импульса (отсчеты шума считайте некоррелированными). Запишите отношение правдоподобия для случая, когда сигнал имеет форму импульса, показанного на рис. 15, а отсчеты смеси берутся равномерно в пределах интервала . Какие отсчеты учитываются с большим весом (с большим «доверием»)?

6. Принимаемый сигнал представляет собой радиоимпульс амплитуды с неизвестной начальной фазой, наблюдаемый на фоне аддитивного гауссовского шума с нулевым средним и СКО . Запишите отношение правдоподобия для однократного отсчета напряжения на выходе детектора огибающей. Определите порог, оптимальный по критерию максимального правдоподобия.

1. Принимаемый сигнал представляет собой радиоимпульс амплитуды с неизвестной начальной фазой, наблюдаемый на фоне аддитивного гауссовского шума с нулевым средним и дисперсией . Запишите отношение правдоподобия для однократного отсчета напряжения на выходе детектора огибающей. Определите порог, оптимальный по критерию Неймана–Пирсона при заданном уровне вероятности ложной тревоги .

2. Некоторое упрощение некогерентного приемника может быть достигнуто исключением операции извлечения квадратного корня из суммы квадратов квадратурных компонент, которая имеет в отсутствие сигнала распределение с двумя степенями свободы, совпадающее с экспоненциальным распределением с плотностью: