УФР с помощью опционов_3 (Лекции)

23

Управление рисками с помощью опционов

(лекция 3)

1. Коэффициент «ро »

2. Коэффициент «вега »

3. «Улыбка» волатильности

4. Коэффициент «лямбда »

5. Сводные таблицы коэффициентов чувствительности опционов

6. Контрольные вопросы и примеры решения задач

1. Коэффициент ро

Чувствительность стоимости опциона к изменению процентной ставки характеризуется параметром ро .

Обычно ро измеряют как величину изменения цены опциона в ответ на единичное изменение процентной ставки.

Для того чтобы установить характер зависимости стоимости опционов от изменения процентной ставки, необходимо обратиться к общему ценообразованию срочных (форвардных) контрактов (см. гл. 2). Дело в том, что для срочных финансовых инструментов сумма выплат по процентам за время жизни контракта является основной составляющей стоимости удержания позиции [1, 6].

,

где − цена исполнения срочного контракта;

− цена спот базового актива.

В общем случае стоимость срочного (форвардного) контракта на покупку базового актива равна разности

, (4.7)

где − стоимость контракта на покупку базового актива за t дней до его истечения;

r − годовая процентная ставка;

365 − количество дней в году.

При положительной разности (4.7) покупатель контракта должен заплатить продавцу сумму c, т.к. он покупает базовый актив по контракту дешевле, чем того требует текущая рыночная цена этого актива S. Причиной такого несоответствия, в частности, может быть повышение стоимости удержания позиции . Чем больше r , тем выше стоимость удержания позиции и тем выше стоимость контракта c. Соответственно, при уменьшении r снижаются стоимость удержания позиции и стоимость контракта c.

Стоимость срочного (форвардного) контракта на продажу базового актива равна разности

, (4.8)

где − стоимость контракта на продажу базового актива за t дней до его истечения.

При положительной разности (4.8) покупатель контракта должен заплатить продавцу сумму . т.к. он продаёт базовый актив по контракту дороже, чем того требует текущая рыночная цена этого актива S. Причиной такого несоответствия, в частности, может быть снижение стоимости удержания позиции . Чем меньше r , тем ниже стоимость удержания позиции и тем выше стоимость контракта на продажу . Соответственно, при увеличении r повышается стоимость удержания позиции и снижается стоимость контракта на продажу базового актива .

Как следует из ранее рассмотренной модели Блэка-Шоулза (4.1), стоимость опциона на бездивидендную акцию зависит от величины безрисковой процентной ставки . Проведённые выше исследования и модель (4.1) показывают что, чем выше значение , тем дороже стоит Call-опцион на акцию. Чем ниже , тем дешевле стоит данный опцион. Для Put-опциона ситуация будет противоположная. С ростом снижается стоимость контракта, а при увеличении уменьшается стоимость Put-опциона.

Аналогичные исследования можно провести для других видов и типов опционов и установить характер зависимости их стоимости от изменения процентной ставки. В табл. 4.8 представлен характер такой зависимости для различных опционов [5, 9]. При этом необходимо обратить внимание на то, что стоимость маржируемых опционов (опционов с фьючерсным методом расчётов) не зависит от изменения процентной ставки. Это объясняется тем, что стоимость удержания позиции для таких контрактов равна нулю. Стоимость опционов на иностранную валюту зависит от изменения двух процентных ставок: внутристрановой ставки и иностранной процентной ставки .

Таблица 4.8

Влияние изменения процентных ставок на стоимость опционов

На рис. 4.17 представлены графики, на которых отражён характер зависимости стоимости опционов Call и Put на акции от величины безрисковой процентной ставки для различных сроков до истечения контракта. Эти зависимости построены на основе модели Блэка-Шоулза (4.1).

Рис. 4.17. Характер зависимости стоимости опционов Call и Put на акции от величины безрисковой процентной ставки для различных сроков до истечения контракта:

а – «длинный» Call-опцион; б – «короткий» Call-опцион; в – «длинный» Put-опцион; г – «короткий» Put-опцион

Графики на рис. 4.17 подтверждают ранее сделанные выводы и демонстрируют, что характер зависимости стоимости опционов на акции противоположен для «длинных» и «коротких» опционов, для Call- и Put-опционов. Чем больше срок до истечения контракта, тем в большей степени стоимость опционов зависит от изменения безрисковой процентной ставки.

Несмотря на выявленную зависимость стоимости опционов от изменения процентной ставки, необходимо отметить, что в течение реальных сроков жизни большинства биржевых контрактов (от месяца до года) эта зависимость минимальная. Поэтому значимость показателя ро при анализе и построении опционных позиций значительно меньшая, чем других коэффициентов чувствительности.

2. Коэффициент вега

Стоимость опциона существенно зависит (практически определяется) волатильностью рынка базового актива. Чем больше волатильность, тем выше стоимость опциона. Это объясняется тем, что, например, у опциона «вне денег» с возрастанием волатильности увеличивается вероятность того, что он истечёт «в деньгах».

Чувствительность стоимости опциона к изменению волатильности цены базового актива характеризуется коэффициентом вега.

.

Обычно параметр вега измеряют как величину изменения стоимости опциона в ответ на изменение волатильности на 1%. Например, если вега опциона равна 0,25, то с ростом (уменьшением) волатильности на один процентный пункт стоимость контракта увеличится (уменьшится) на 0,25. Так, если теоретическая стоимость опциона равна 5,25 руб. при волатильности 40%, то при волатильности 41 % его стоимость составит 5,50 руб., а при волатильности 39 % − 5,0 руб.

Характер зависимости стоимости опционов от волатильности цены базового актива отражают семейства кривых, представленные на рис. 4.18 и 4.19. Каждая кривая стоимости опциона в составе названных семейств соответствует определённому фиксированному значению волатильности цены базового актива . Чем больше расхождение между этими кривыми, тем выше чувствительность стоимости опциона соответствующего типа к изменению волатильности (тем выше значение коэффициента вега).

Рис. 4.18. Зависимость стоимости «длинного» (а) и «короткого» Call-опциона от волатильности рынка базового актива

Рис. 4.19. Зависимость стоимости «длинного» (а) и «короткого» Put-опциона от волатильности цены базового актива

Анализ рис. 4.18 и 4.19 показывает, что вега у опционов «на деньгах» больше чем у опционов того же типа «в деньгах» или «вне денег». Это означает, что опционы «на деньгах» более чувствительны к изменению волатильности в абсолютных единицах цены.

На рис. 4.20 отражена зависимость коэффициента вега от времени до истечения контракта «на деньгах» (до даты экспирации ).

Анализ рис. 4.20 показывает, что вега опционов уменьшается с приближением даты экспирации (кривые стоимости опциона с разными сближаются). Этот факт позволяет сделать вывод о том, что долгосрочные опционы более чувствительны к изменению волатильности базового актива, чем краткосрочные контракты с идентичными характеристиками. Объяснить это свойство опционов можно следующим образом [Натенберг]. Чем дальше дата экспирации, тем больше времени остаётся для проявления эффекта волатильности. Сокращение времени до экспирации ведёт к ослаблению влияния изменения волатильности на стоимость опционов.

Рис. 4.20. Зависимость коэффициента вега от времени до экспирации опциона "на деньгах"

Необходимо также провести исследование влияния волатильности рынка базового актива на показатели дельта и гамма опционов. При росте волатильности цены базового актива увеличивается вероятность исполнения с прибылью опционов «вне денег» и уменьшается вероятность такого исполнения опционов «в деньгах». Следовательно, с ростом волатильности абсолютная величина коэффициента дельта опционов «вне денег» увеличивается, а у опционов «в деньгах» уменьшается. Характер зависимости показателя дельта от волатильности рынка базового актива продемонстрирован с помощью семейства кривых для «длинного» Call-опциона на рис. 4.21.

Рис. 4.21. Зависимость коэффициента дельта от волатильности рынка базового актива Call-опциона

Влияет изменение волатильности цены базового актива и на коэффициент гамма. Как уже отмечалось (см. рис. 4.18 и 4.19), с ростом волатильности рынка базового актива стоимость опционов Call и Put возрастает. При этом изгиб кривой стоимости опционов в области цены «страйк» уменьшается. Следовательно, коэффициент гамма опционов «на деньгах» уменьшается. Зависимость абсолютной величины показателя гамма опционов «вне денег» и «в деньгах» от изменения волатильности рынка базового актива существенно менее значительна.

Таким образом, волатильность цены базового актива значительно влияет на стоимость опционов, на коэффициенты дельта и гамма. Более того, при расчёте «справедливой» стоимости опционов по формуле Блэка-Шоулза (4.1) волатильность является практически единственным неизвестным параметром на момент покупки контракта. Действительно, цена спот базового актива S известна, цена «страйк» X и время до экспирации t известны, безрисковая процентная ставка r известна и за время жизни опциона она изменяется незначительно. Остаётся неизвестной только волатильность рынка базового актива за период времени от покупки опциона до его экспирации. Возникает вопрос, где взять значение этого параметра? Обычно рассчитывается по историческому статистическому ряду доходностей базового актива опциона в годовых процентах. Вычисленную таким образом волатильность принято называть исторической. Недостатком использования в расчётах исторической волатильности является тот факт, что она лишь в первом приближении отражает реальную (будущую) волатильность рынка базового актива в течение жизни покупаемого контракта. Это вносит дополнительную погрешность в оценку «справедливой» стоимости опциона.

На ликвидном биржевом рынке опционов известны цены сделок по всем торгуемым контрактам. Поэтому появляется возможность на основе модели Блэка-Шоулза (подставив значение цены опциона и все другие известные параметры в формулу) рассчитать так называемую подразумеваемую (имплицитную) волатильность. Такое название происходит от того, что каждая рыночная цена опциона подразумевает вполне определённую волатильность. Подразумеваемая (можно назвать, опционная) волатильность − это оценка ожидаемой (прогнозируемой) волатильности рынка базового актива на период жизни контракта, получаемая из теоретической модели данного опциона. Таким образом, каждой рыночной цене опциона соответствует некоторое конкретное значение подразумеваемой волатильности. Поэтому часто на рынке опционов цену контрактов измеряют не в денежных единицах, а в процентах подразумеваемой волатильности. Соотношение значений исторической и подразумеваемой волатильности может служить определённой инвестиционной идеей на финансовых рынках. Так, например, «длинные» опционы с низкой подразумеваемой волатильностью (относительно исторической волатильности) считаются недооценёнными и могут быть рекомендованы для покупки. Соответственно опционы с высокой подразумеваемой волатильностью могут в ближайшее время упасть в цене и поэтому рекомендуются к продаже. Подобные инвестиционные стратегии, основанные на анализе волатильности, широко применяются в настоящее время на финансовых ранках [1 − 9].