22

Управление рисками с помощью опционов

(лекция 2)

Коэффициенты чувствительности опционов

1. Общие замечания

2. Коэффициент «дельта»

3. Коэффициент «гамма»

4. Коэффициент «тета»

1. Общие замечания

Как отмечено в предыдущей лекции, стоимость опционного контракта зависит от целого ряда факторов. Такими факторами, в частности, являются: цена базового актива ( ) при фиксированной цене «страйк» ( ), время до истечения контракта ( ), безрисковая процентная ставка ( ), волатильность рынка базового актива ( ). Абсолютное изменение этой стоимости, например, для опциона ( ), выписанного на единицу базового актива, в соответствии с теоремой Тейлора может быть с некоторым приближением представлено в следующем виде:

где дельта, гамма, тета, ро и вега – коэффициенты чувствительности стоимости опциона.

В процессе проведения операций с опционами, конструировании опционных позиций, возникает необходимость в прогнозе не только направления движения цен базового актива, но и скорости изменения этих цен. В зависимости от результатов такого прогноза строятся опционные позиции с соответствующими коэффициентами чувствительности: дельта, гамма, тета, ро и вега. Поэтому изучение и использование названных коэффициентов является исключительно важной задачей.

2. Коэффициент дельта

Коэффициент дельта ( ) – это параметр, характеризующий чувствительность стоимости опциона (премии) к изменению цены базового актива.

. (1)

Если провести соответствующие вычисления, используя модель Блэка-Шоулза, то можно получить аналитические выражения коэффициентов дельта для европейских опционов и на бездивидендные акции. Эти выражения будут иметь следующий вид:

; (2)

; ,

где коэффициент дельта опциона ;

коэффициент дельта опциона ;

функция нормального распределения (вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше или равно ).

Анализ выражений (4.4) позволяет сделать предположение, что наряду с характеристикой чувствительности стоимости опциона к изменениям цены базового актива, коэффициент дельта является ещё и неким вероятностным показателем.

Для более детального исследования коэффициента дельта целесообразно обратиться к конкретному примеру, приведённому на рисунке 1. На этом рисунке представлена зависимость стоимости вполне конкретного -опциона на покупку ста акций некоторого эмитента от цены базового актива (кривая линия). Здесь же отражена внутренняя стоимость опциона в виде прямолинейных отрезков. Цена «страйк» данного опциона равна $100.

Рисунок 1. График зависимости стоимости опциона от цены базового актива

На рисунке 1 обозначены три характерные точки: , , . В точке (91, 230) опцион «вне денег». Если в окрестностях этой точки цена акций увеличится или уменьшится на небольшую величину, например, на $0,1, то применительно к рассматриваемому примеру стоимость опционного контракта увеличится или уменьшится на $3. Хотя объём контракта 100 акций, в точке он ведёт себя так же, как портфель, состоящий из 30 акций. Можно сказать, что изменение стоимости опциона эквивалентно изменению стоимости портфеля акций, представляющего собой только часть лота, на который выписан данный опцион. Эта часть, равная 30/100 = 0,3 (30 %), и представляет собой дельту в точке . Можно также сказать, что дельта, равная 30 %, означает, что при изменении цены единицы базового актива на $1, каждая единица актива в опционном контракте увеличится на $0,3. Следовательно, чтобы рассчитать изменение цены опционного контракта в целом, необходимо коэффициент дельта умножить на объём контракта (в рассматриваемом примере опцион выписан на лот из 100 акций) и оперировать с этой «суммарной дельтой ».

В точке (99, 546) опцион «на деньгах». В окрестностях этой точки стоимость опциона изменяется так, как изменялась бы стоимость портфеля, состоящего из 50 акций. Здесь дельта равна 50/100 = 0,5 (50 %).

В точке (112, 1400) опцион «в деньгах». В окрестностях этой точки стоимость опциона изменяется так, как изменялась бы стоимость портфеля, состоящего из 80 акций, т. е. дельта равна 80/100 = 0,8 (80 %).

Выше точки опцион «глубоко в деньгах». В этой области любые изменения в стоимости опциона практически в точности повторяют изменения в стоимости 100 акций. Здесь дельта приближается к единице (к 100 %).

Ниже точки опцион «глубоко вне денег». Стоимость опциона и дельта стремятся к нулю.

Таким образом, для купленного (длинного) -опциона коэффициент чувствительности дельта имеет положительное значение и изменяется в пределах от 0 до 100 %.

На рисунке 2 рассмотренного примера представлена зависимость стоимости (длинного) -опциона на покупку ста акций данного эмитента от цены базового актива (кривая линия). Здесь же отражена внутренняя стоимость опциона в виде прямолинейных отрезков. Цена «страйк» данного опциона равна $100. На этом рисунке обозначены три характерные точки: , , . В точке (91, 1400) опцион «в деньгах», в точке B (101, 546) опцион «на деньгах», в точке C опцион «вне денег». Как следует из анализа этого рисунка дельта -опциона имеет отрицательное значение и изменяется в диапазоне от −100 % до 0.

Рисунок 2 График зависимости стоимости опциона Put от цены базового актива

Аналогичный анализ может быть проведён и для «коротких» (проданных) - и -опционов. Дельта «короткого» -опциона имеет отрицательное значение и изменяется в диапазоне от 0 до −100 %. Дельта (короткого) -опциона имеет положительный знак и изменяется в диапазоне от 100 % до 0.

На рисунках 3 − 6 для рассмотренного примера представлены зависимости коэффициента дельта от цены базового актива для «длинных» и «коротких» - и -опционов.

Рисунок 3. Зависимость коэффициента дельта от цены базового актива для «длинного» -опциона

Рисунок 4. Зависимость коэффициента дельта от цены базового актива для «короткого» -опциона

Рисунок 5. Зависимость коэффициента дельта от цены базового актива для «длинного» -опциона

Рисунок 6. Зависимость коэффициента дельта от цены базового актива для «короткого» -опциона

В таблице 1 представлены знаки и диапазоны изменения коэффициента дельта для различных опционов.

Таблица 1

Знак и диапазон изменения коэффициента дельта опционов

Анализ рисунков 3 − 6 показывает, что зависимость коэффициента дельта от цены базового актива носит нелинейный характер. Вместе с тем, при относительно малых отклонениях цены базового актива от исходного уровня, можно считать, что

,

где − изменение цены единицы актива в опционном контракте;

− изменение цены единицы базового актива (одной акции).

Так, если дельта опционной позиции равно 50 %, и цена акции изменилась с $99 до $100 (см. рисунок 1), то можно считать, что в первом приближении стоимость опциона на 100 акций увеличится с $546 до $596.

; .

Положительный знак дельты говорит о том, что с ростом цены базового актива, стоимость опциона будет увеличиваться. Отрицательный знак дельты говорит о том, что с ростом цены базового актива опцион будет терять свою стоимость. Так, «длинный» Call-опцион и «короткий» Put-опцион имеют положительную дельту, т.е. при росте цены базового актива стоимость этих опционов будет расти, а при падении цены − падать. «Короткий» Call-опцион и «длинный» Put-опцион имеют отрицательную дельту, т.е. при росте цены базового актива стоимость этих опционов будет падать, а при падении цены − расти.

Это свойство дельты широко используется при построении опционных позиций, адекватных прогнозам движения цен базового актива. Так, если настроения относительно цены базового актива оптимистические (прогнозируется её рост), то для получения прибыли необходимо иметь положительную дельту в опционной позиции. Если же настроения относительно цены базового актива пессимистические (прогнозируется её падение), то в опционной позиции необходимо иметь отрицательную дельту. В этом случае стоимость опционной позиции будет расти.

В практике управления рисками показатель дельта широко используется в качестве коэффициента хеджирования базового актива опционным контрактом при построении так называемой дельта-нейтральной позиции (позиции с суммарным коэффициентом дельта, равным нулю). Такая позиция в значительном диапазоне изменения фактора риска нечувствительна к нему. Использование коэффициента дельта в этом случае обусловлено тем, что, как уже отмечалось, значение данного показателя по существу представляет собой численное выражение степени идентичности (степени схожести) поведения стоимости опциона и цены базового актива. Например, для построения дельта-нейтральной позиции в точке B (см. рисунок 1) достаточно осуществить «короткую продажу» 50 акций, являющихся базовым активом опциона.

В общем случае для расчёта требуемого количества единичных опционов (опционов, выписанных на единицу базового актива) для хеджирования каждой единицы такого актива может быть использовано следующее выражение: