poyasnenia_k_resheniyu_zadach (Ответы на всю теорию и задачи к экзамену)

Метод вращения

Билет 94,. Задача 1.2 Построение проекций биссектрисы угла. А.

Аналогично билеты 95-99.

Для решения задачи нам необходимо найти натуральную величину угла А.

На виде сверху: строим горизонталь, проходящую через точку С. Продолжаем грань АВ до пересечения с горизонталью. Полученную точку 1 проецируем на вид сверху.

На виде сверху: Продолжаем грань АВ до пересечения с проекцией точки 1, найденной выше. Через точку 1 и точку С строим горизонталь. Перпендикулярно этой горизонтали проводим две прямые через точку В и А. Из точки А перпендикулярно отрезку АВ строим отрезок |R| до пересечения с горизонталью. Расстояние между его точкой пересечения с горизонталью и точкой 1 следует измерить и «повернуть» полученный отрезок относительно точки 1 до пересечения полученной окружности с прямой, перпендикулярной горизонтали и проходящей через точку А. Получим точку А0. Соединим её с точкой С. Соединим точку Ао также и с точкой 1. Полученная прямая, проходящая через эти две точки, пересечет и прямую ,перпендикулярную горизонтали и проходящую через точку В. Получим точку Го (лучше назвать Во). В полученном угле находим биссектрису, которая пересечет прямую ,перпендикулярную горизонтали и проходящую через точку В. Соединим данную точку пересечения с Ао прямой ,которая в свою очередь пересечет горизонталь. Через эту точку пересечения и точку А проводим новую прямую ,которая пересечет и отрезок ВС.

Затем проецируем полученную точку пересечения на вид спереди и соединим новую точку на виде спереди с точкой А.

Билет 106 решается аналогично 94, однако для ясности опишу.

Аналогично 107

На виде сверху для плоскости из точки C’ строим фронталь. Проецируем её на вид спереди. Строим через точку пересечения её и отрезка A’’B’’ прямую ,параллельную Х, то есть проецируем влево ,на отрезок.

На виде спереди, на отрезке ,через точку К’’ строим перпендикуляр отрезку и ищем точку пересечения его с проецируемой выше точкой. Из полученной точки строим окружность (поворачиваем) радиусом, равным отрезку K’O’1 на виде сверху (на виде спереди это отрезок R) Получим точку K’’o. Через неё и точку K’’ проводим прямую. Получили точку О при пересечении фронтали с прямой L’’. В точке K’’o ищем все необходимые углы (показано на рисунке.)

Билет 108 несколько сложнее

Аналогично 109

Для пересекающихся отрезков a и b строим на виде спереди горизонталь, проецируем её на вид сверху. Аналогично и для параллельных прямых с и d. Повторим все это ,только будем строить фронтальи. На виде сверху через спроецированные прямые строим перпендикуляры, проходящие через проекции точек отрезков b и c (для удобства). Точка пересечения этих отрезков на виде спереди проецируем на вид сверху. Аналогично строим перпендикуляры и на виде сверху. Точка их пересечения 1’. Через неё строим окружность с радиусом, равным расстоянию на виде сверху от точки пересечения фронтали с b до линии перехода. Полученная окружность пересечёт вертикальную линию, проходящую через точку 1, получили точку 1’о. На этой же вертикальной прямой отложим отрезок длиной, равной расстоянию от горизонтали и b’’ на виде спереди до линии перехода. Получим точку O’ Через неё строим горизонтальную прямую. Через точки пересечения её с двумя ближайшими прямыми (см рис.) строим две другие прямые, сходящиеся в 1’o. Угол между ними – искомый.

Билет 110, 111,112,113,

Решается методом вращения, очень нагляден и пояснений не требует.

Замена плоскостей проекций

Билет 100. Задача 7.2 Определить величину угла между плоскостями АВС и АВD способом замены плоскостей проекций.

Аналогично решаются задачи 101-102

Аналогично, ищем натуральную величину угла BDC, только иным методом.

На виде сверху перпендикулярно AB (линия пересечения двух плоскостей) проводим параллельные линии через все точки. Перпендикулярно им в произвольном месте строим линию x, разделяющие виды. От точек пересечения её и параллельных проецирующих линий откладываем отрезки, равные по величине соответствующим отрезкам на виде спереди (A’’X=A’X1).

Полученные пересекающие плоскости представлены треугольниками, выполненными в натуральную величину. Осталось найти угол между ними. Для этого нужно посмотреть на него сбоку.

Проводим линию через ребро АВ и перпендикулярную её линию перехода. От неё аналогично откладываем отрезки на проецирующих линиях, параллельных АВ, равные отрезкам на виде сверху (A’X1=A’’’X2). Теперь мы видим, что точки A’’’ и B’’’ совместились в одну, то есть мы нашли угол альфа (O’’’B’’’C’’’), искомый.

Задачи 103-104

Решаются аналогично 100 лиш с тем исключением, что ищется расстояние. Методика определения расстояния между точкой и плоскостью сводится к проецированию плоскости в прямую, опускании высоту из точки на прямую и измерения высоты ,что и будет расстоянием. Для построения высоты необходимо на виде спереди через наиболее удобную точку построить горизонталь, определить точку пересечения её с одним из отрезков ,обозначающих плоскость, спроецировать полученную точку на вид сверху. Параллельно проекции горизонтали нужно спроецировать все точки для построения частного вида сбоку ,на котором плоскость спроецируется в прямую. Теперь строим высоту из точки а до полученной прямой.

Точку пересечения высоты с плоскостью можно спроецировать на все виды, однао это опять же только как плюс ,необходимости в этом нет. Точку K’’ параллельно линиям проецирования «ведём» на вид спереди Из точки A’ строим перпендикуляр к линии проецирования точки K’’, точка пересечения которых даст точку K’. Проецируем уже эту точку на вид спереди и получаем точку K посредством измерения расстояния от линии перехода на частном виде сбоку до точки K’’ (обратная задача).

Билет 114, 115

Проецируем все точки на виде сверху по прямым, перпендикулярным прямой a'. Строим соответствующие точки по стандартному методу нахождения натуральной величины отрезков, замеряя расстояния на виде спереди. Затем нам необходимо одну из прямых спроецировать в точку, для этого выбираем прямую a и проводим параллельно её проецирующие линии от всех точек. Расстояние равно расстоянию до линии перехода на виде сверху (П1/П3). Теперь мы имеем прямую b и прямую а, спроецированную в точку. Для определения расстояния достаточно отложить перпендикуляр через неё к прямой b. Это и есть расстояние между прямыми. На рисунке к билету 114 полученная высота спроецирована на все виды, однако необходимости в этом нет, разве что показывает ваше понимание данной методики построения (обратный ход решения задачи).

Билет 116,117

Решается аналогично, однако теперь требуется спроецировать плоскость в линию и определить расстояние между двумя такими плоскостями. Проецирование плоскости в линию делается за счет изображения на виде спереди горизонтали, пересекающей один из отрезков плоскости в некой точке, которая затем проецируется на вид сверху. Линии проецирования на виде сверху пойдут теперь параллельно этой проекции горизонтали, подобно задачам 114, где за направляющую была выбрана одна из прямых. Вторая плоскость проецируется пв прямую, параллельную проекции первой плоскости ,так как они параллельны между собой по условию. Можно провести её через точку, ближайшую к линии перехода на виде спереди, в данном случае точка С’’’. Расстояние равно перпендикулярному этим двум прямым отрезку.

Билет 118, 119.

Примечателен тем ,что ищутся два угла наклона заданной плоскости к плоскостям проекций.

Как и в предидущих задачах, необходимо спроецировать плоскость в линию. Для этого строим на виде спереди горизонталь, чтобы узнать угол наклона заданной плоскости к плоскости П1, а на виде сверху фронталь ,чтобы, соответственно ,узнать величину угла наклона заданной плоскости по отношению к плоскости проекции П2.

Пересечение поверхностей

Билет 120, 127, 132, 135, 143

Д ля начала проецируем очевидные точки пересечения усеченного конуса с тором (1 и 2) на виде спереди. На виде сверху они лежат на горизонтальной оси симметрии конуса.

Далее ищем остальные точки, принадлежащие линии пересечения двух поверхностей. Проводим из центра тора на виде спереди прямую f, которая пересечет линию пересечения поверхностей. Из точки пересечения этой линии f контурной окружности тора (центр окружности, которая вращается вокруг центра тора) строим перпендикуляр до пересечения с осью конуса. Из полученной точки пересечений строим окружность ,проходящую через образующие тора (крайние линии тора), которая также пересечет и конус. Точки пересечения этой окружности с конусом дадут нам прямую, параллельную основанию конуса. Полученная линия при пересечении с линией f даст нам искомую точку, принадлежащую линии пересечения поверхностей. Для построения её на виде сверху требуется спроецировать найденные выше точки пересечения окружности с торой ,по которым строилась прямая, параллельная основанию конуса. При проецировании на вид сверху мы получим окружность с центром ,совпадающим с центром конуса, но меньшую по размерам ,чем его основание. Затем просто проецируем найденную выше точку пересечения поверхностей на вид сверху. Теперь по аналогии, строим новую прямую f из центра тора на виде спереди, проходящую чуть выше. Стараемся, чтобы найденная точка лежала по другую сторону от оси конуса, это поможет более точно определить контур и форму искомой линии пересечения поверхностей. В данном случае достаточно найти 6 точек, чтобы построить эту линию ,однако в более сложных задачах нужно делать куда больше построений. Теперь осталось только объеденить плавной линией полученные точки.

Билет 121

Для нахождения двух точек пересечения прямой с поверхностью необходимо на виде спереди спроецировать видимые точки «входа» и «выхода» прямой из и в тело соответственно. Стоит заметить ,что эти точки не являются искомыми. Проецируем их на вид сверху до пересечения с горизонтальной осью тела. Строим окружности из центра тела, проходящие через эти точки

Линии пересечения этих окружностей с прямой a’дадут нам точки К’ и М’, которые мы проецируем на вид спереди до пересечения с прямой a’’.

Билет 122, 123

На виде сверху нормаль проводится через точку А’ и центр тора. Затем строим через этот же центр окружность, проходящую через точку A’. Точка пересечения этой окружности с горизонтальной осью симметрии тора проецируется на вид спереди и лежит на граице тора. Соединим эту точку с точкой А’’ и получим проекцию нормали к поверхности.

Через точку A’ строим перпендикуляр к нормали. Эта линия будет касательна к поверхности тора. Аналогичным методом поворота на виде спереди на крайней линии тора строим прямую, касательную к поверхности тора в точке, образованной пересечением краем тора и прямой ,содержащей точку A’’. Полученная линия пересекает главную ось тора в точке S. Через эту точки и точку S и точку А’’ проводим линию, которая и будет касательна к поверхности.

Вторая линия, задающая плоскость, нормальную к тору, на виде спереди совпадает с линией, проходящей через точку А горизонтально ,а на виде сверху она перпендикулярна нормали.

Билет 124, 125

Основное отличие от билета 123 состоит в том ,что вместо тора используется конус.

Следовательно, касательная линия через точку А на виде спереди проходить через точку S. На виде спереди вторая касательная будет параллельна основанию, а на виде сверху она ищется посредством проецирования точек пересечения её на виде спереди с осью конуса (точка 1). На виде сверху через точку 1 строим окружность, равную диаметром отрезку, образованному на виде спереди горизонтальной линии ,проходящей через точку А и крайними линиями конуса. На виде сверху точка пересечения окружности с линией проекции точки А даст точку A’. Теперь через неё проведём касательную к окружности и линию ,проходящую через точку 1. В итоге у нас будут две прямые ,касательные к конусу, задающие касательную плоскость.

Билет 126

Задание аналогично ,только изменилась фигура. На виде спереди через точку А строим горизонтальную линию и линию ,параллельную стороне наклонного цилиндра.

На вид сверху проецируем центр окружности ,на которой лежит точка А’’ на виде спереди. Строим эту окружность. Получили точку А’. Теперь просто строим через центр окружности и её линию, плюс касательную к окружности через эту точку A’. Таким образом мы опять получили две прямые, задающие касательную плоскость.

Билет 128 Выполнен с ошибкой)

На виде спереди проецируем точку 1’’ по окружности с центром в оси тора. На виде сверху точку 1’ соединяем с проекцией горизонтальной линией, получаем точку 1 (на рисунке там стоит название прямой а’о).

Аналогично поступаем и с точками явного пересечения тора прямой на виде спереди. Их поворот относительно центра тора совпадет с контурной окружностью тора и краем тора (на рисунке сверху это точки b и с). Получаем гиперболу (не прямую ,как на вашем рисунке). Теперь точки пересечения гиперболы с окружностью основания тора (точка К и L) проецируются но прямую а’. Далее просто проецируем их на вид спереди, получаем точки пересечения прямой с тором.На рисунке выше тоже есть ошибка. На виде спереди штриховой линией зарисовывается прямая а от точки L и до конца тора ,а не до точки К. На виде сверху все правильно.

Билет 129, 130, 131, 136

Решение основано на проведении горизонтальных линий на виде спереди через оба тела и построении окружностей с заданным радиусом на виде сверху, которые при пересечении будут давать точки ,принадлежащие линии пересечения поверхностей.

133 Выполнен небрежно ,поэтому рисунок поставлен ниже.

П ример. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (рис. 8.14). Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса и найдем горизонтальные следы прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K1 и K2 пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми точками. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему.

Билет 134 (немного неверно построена), 137, 138, 139, 140, 141, (142 почти одно и тоже, что и 137), 144

С начала ищем явные точки пересечения сферы с цилиндром, такие как точка 1 и точка 2 (лежат на верхней и боковых частях цилиндра.

Способом сфер на виде спереди из точки О’’ строим произвольно окружность. Точка пересечения её с цилиндром проецируется на вид сверху, где нужно построить такую же окружность. Точка пересечения этой окружности с линией проецирования даст нам лточку линии пересечения.

Данные задачи решаются либо методом сфер (два тела вращения ,оси которых пересекаются), либо методам секущих плоскостей (тела вращения, но оси не пересекаются)

Р исунок к задаче 138 метод секущих плоскостей (горизонтальные прямые)

К задаче 140 метод секущих плоскостей

Задача 141 Метод секущих сфер Задача 145 (метод сфер)

Задача 146 метод сфер