6_Точечные_оценки (Точечные оценки)

Практическая работа №6

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ

Числовые характеристики случайной величины

Рассмотренные интегральная и дифференциальная функции распределения однозначно и в полной мере определяют характер случайной величины. Однако не всегда есть возможность определить закон распределения вероятностей. Кроме того, часто этого и не требуется, так как используют числовые характеристики, которые описывают случайную величину не в деталях, а суммарно. К числу таких характеристик случайной величины относятся начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется величина: . Очевидно, что первый начальный момент есть математическое ожидание случайной величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется величина: . Первый центральный момент для любых случайных величин равен нулю . Очевидно, что второй центральный момент есть дисперсия случайной величины .

Если случайная величина распределена симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетных порядков равны нулю. Для характеристики степени отклонения распределения от симметричного используют центральный момент третьего порядка. Коэффициентом асимметрии (скошенности) называется величина:

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис. 1) более полога слева от М(Х). Если коэффициент As положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более полога справа. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды.

Четвертый центральный момент служит для характеристики островершинности распределения. Эксцессом случайной величины (коэффициентом островершинности) называется величина:

Эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого отношение а эксцесс равен нулю. Распределения более островершинные, чем нормальное, имеют эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные – имеют эксцесс Еk < 0 (рис. 2).

Моменты порядков более четвертого, как правило, не используются.

Коэффициент асимметрии и эксцесс удобно вычислять в Exel, они входят в набор "Описательная статистика". Отдельно их можно определять с помощью статистических функций СКОС (для коэффициента асимметрии) и ЭКСЦЕСС (для коэффициента островершинности).

Свойства точечной оценки

Числовая характеристика случайной величины, определенная при ограниченном объеме информации, называется оценкой. "Точечная" означает, что оценка представляет собой число или точку на числовой оси.

Обозначим через некоторую оцениваемую характеристику (ею может быть математическое ожидание, дисперсия и любая другая числовая характеристика случайной величины Х). Ее числовое значение неизвестно, однако предложен некоторый алгоритм или формула вычисления точечной оценки этой характеристики по результатам x₁, x₂, ..., x_n наблюдений величины Х. Обозначим буквой f этот алгоритм:

.

Подставив в формулу конкретные результаты наблюдений, получим число, которое и принимают за приближенное значение неизвестной характеристики . Найти погрешность этого приближения нельзя, поскольку истинное числовое значение характеристики неизвестно. Чтобы ответить на вопрос: хорошо или нет найденное приближение – рассмотрим оценку и ее свойства.

Так как результаты наблюдений – случайные величины, то и оценка - также величина случайная. Следовательно, можно говорить о ее математическом ожидании M( ), дисперсии D( ) и законе распределения. Интерпретация оценки как случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми должна обладать оценка, чтобы ее можно было считать хорошим приближением к неизвестной оценке . Это свойства состоятельности, несмещенности и эффективности.

Состоятельность. Оценка характеристики называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: или при . Если говорить коротко то, чем больше объем исходной информации, тем ближе оценка к оцениваемому параметру. Если это так, то - состоятельная оценка.

Если оценка несостоятельная, то она не имеет практического смысла: увеличение объема исходной информации не будет приближать нас к истине. Поэтому свойство состоятельности следует проверять в первую очередь.

Несмещенность. Оценка характеристики называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

M( ) .

В противном случае оценка называется смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка , полученная по разным выборкам, будет либо завышать , если M( ) > , либо занижать , если M( ) < . Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Эффективность. Несмещенная оценка характеристики называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n, т.е. D( ) .

Поскольку оценка – это случайная величина, то показателем разброса значений случайной величины около ее математического ожидания является дисперсия. Так как математические ожидания несмещенных оценок равны оцениваемому параметру, следовательно, они одинаковы. То естественно считать лучшей, более эффективной ту оценку, у которой меньше дисперсия. В табл. 1 приведены оценки основных числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, вероятности) и их свойств.

Оценки основных числовых характеристик случайной величины Таблица 1

^*) Для случайной величины X можно предложить еще одну оценку дисперсии :

вляется состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой, но т.к. заранее не известно, то ее использование затруднено.

Однако на практике не всегда оценки удовлетворяют всем трем требованиям. Может оказаться, что даже если эффективная оценка существует, то формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными, и тогда используют оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда, в интересах простоты расчетов, применяются незначительно смещенные оценки. Выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение.

Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Можно доказать, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов того же порядка. На этом основан метод моментов, предложенный К. Пирсоном. Достоинством метода является его сравнительная простота.