6_Точечные_оценки (Точечные оценки), страница 2

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Эмпирические моменты находят по экспериментальным данным (выборке).

Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:

.

Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.

Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка:

Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему уравнений относительно этих неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.

При практическом применении метода моментов необходимо учитывать зависимости математического ожидания и дисперсии от параметров рассматриваемого распределения.

Пример 1. На гистограмме приведены результаты измерений роста 100 студентов. Вид гистограммы позволяет предположить нормальное распределение случайной величины Х – роста студентов с неизвестными параметрами: X . Определить точечные оценки параметров распределения методом моментов.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Для случайной величины, значения которой приведены на графике, определить:

Дать суммарное описание случайной величины с помощью основных числовых характеристик:

• математическое ожидание;

• дисперсия;

• коэффициент асимметрии;

• эксцесс.

Объяснить качественный смысл каждой числовой характеристики.

Задача 2. Предположим, что при экспериментальном исследовании для оценки степени рассеяния случайной величины была использована смещенная оценка дисперсии. Объем выборки составил 10 значений. Полученная оценка равна 1,287. а) Найти значение несмещенной оценки дисперсии случайной величины. б) Перечислить, какими свойствами обладает новая оценка? (Ответ объяснить.)

Задача 3. В технологических процессах машиностроительного производства при обработке с точностью 7 – 6 квалитетов распределение размеров подчиняется закону треугольника (закону Симпсона). Закон треугольника однопараметрический и характеризуется параметром а (см. рис.). Для закона Симпсона характерны зависимости:

В таблице приведены данные контроля партии деталей:

а) построить гистограмму относительных частот, считая , за середину интервала;

б) методом моментов определить точечные оценки параметров распределения в предположении, что погрешность размера подчиняется закону треугольника;

в) на гистограмме относительных частот (эмпирический график) построить распределение Симпсона (теоретический график).