1 ДЗ (ТП1 со стенда 1-6 задача), страница 2

Рассмотрим случай без возвращения:

В этом случае события являются зависимыми, будем использовать формулу умножения вероятностей для зависимых событий.

Задача 5. На склад поступили детали, изготовленные на трех станках. На i-м станке изготовлено R_i % деталей (i= 1,2,3). Вероятность выпуска бракованных деталей на i-м станке равна P_i(i=1,2,3). 1) определить вероятность, что деталь взятая наудачу окажется бракованной; 2) пусть наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на j-ом станке.

R₁=40; R₂=35; R₃=25; P₁=0.05; P₂=0.01; P₃=0.02; j=3.

Решение:

Введем следующие события:

H₁ {Деталь поставляется на склад с 1-го станка}

H₂ {Деталь поставляется на склад со 2-го станка}

H₃ {Деталь поставляется на склад с 3-го станка}

Априорные вероятности гипотез:

P(H₁) = 0.4; P(H₂) = 0.35; P(H₃) = 0.25

P(H₁) + P(H₂) + P(H₃) = 1

Условные вероятности:

P(A|H₁) =0.05; P(A|H₂) = 0.01; P(A|H₃) = 0.02

Таким образом:

P(A) = 0.4*0.05+0.35*0.01+0.25*0.02=0.0285

Для подсчета апостериорной вероятности гипотезы H₃ воспользуемся формулой Байеса:

Задача 6.

В отдел технического контроля поступает партия, содержащая N изделий, среди которых имеется M бракованных. Для проверки контролер отбирает три изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью P. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будет забракована.

N = 17; M = 6; P = 0.95

Решение.

Введем следующие гипотезы:

H₀ {В выборку не попало бракованных деталей}

H₁ {В выборке 1 бракованная деталь}

H₂ {В выборке 2 бракованные детали}

H₃ {В выборке 3 бракованные детали}

Априорные вероятности гипотез:

Общее число способов отобрать 3 детали из 17:

Число благоприятных исходов равно:

Простой подсчет даёт:

;

P(H₀) + P(H₁) + P(H₂) + P(H₃) = 1

Найдем условные вероятности:

P(A|H₀) =0.00; P(A|H₁) =0.95

Для поиска остальных условных вероятностей воспользуемся формулой сложения вероятностей для независимых событий:

P(A|H₂) = 1 – (1 - 0.95)^2 = 0.9975 ; P(A|H₃) = 1 – (1 - 0.95)^3 = 0.9999

Окончательно получаем: P(A)= 0,7324