6-10(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет № 6

1.Следствие из 2-го замечательного предела: lim (1+x)^1/x= е

x→0

Доказательство:

lim (1+x)^1/x= |замена x=1/t при t→∞| = lim (1+1/t)^t=e

x→0 x→∞

2. Теорема Роля:

Пусть

1. f(x) Є C[a,b];

2. f(x) – дифференцируема на (a,b), т.е. гладкая на интервале (a,b);

3. f(a) =f(b),тогда существует ζ Є(a,b): f’(ζ)=0;

Доказательство:

По 1 теореме Веерштрасе: Существует m=inf(x) [a,b]

Существует M=sup(x) [a,b].

1) когда m=M след-но f(x)=const=m=M f ’(x)=0, для любого x Є(a,b) =>

роль ζ может выполнять для любого x Є(a,b)

2) m<M Рассмотрим f(a). Видно, что не может быть одновременного совпадения f(a)=m и f(a)=M.

Для определенности, пусть f(a)≠m => f(a)>m

По 2 теореме Вейерштрассе  ζ Є[a,b]:f(ζ)=m< f(a)=f(b)

Это говорит о том, что ζ не может ни с а ,ни с b =>

Для нашей ситуации ζ Є(a,b).  к ф-ии f(x) можно применить теорему Ферма f ’(ζ)=0.

Билет 7.

1.f(x) называется б.м. при хx0, если lim f(x) при хx0=0.(т.е для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля такая что для любого х принадлежащего проколотой окрестности дельта точки х0 вып. |f(x)|<эпсилон.

Теорема.Существует lim f(x) при хx0 = А f(x) можно представить в виде:f(x)=A+a(x), где a(x)-б.м при хx0.Док-во:т.к lim f(x) при хx0=А,то для любого эпсилон >0,существует дельта>0 такая что для любого х принадлежащего проколотой окрестности дельта точки х0 вып. |f(x)-A|<эпсилон(1).Обозн. f(x)-A=a(x).Тогда нер-во(1) можно представить так: |a(x)|<эпсилон(2),т.е a(x)-б.м при хx0. Выражаем f(x)=A+a(x).

2.Ф-я y=f(x) наз. Дифференцируемой в т.х0,если ее приращение в этой точке можно представить в виде:f(x0+∆х)-f(x0)=A(x0)*∆х+ (∆х) при ∆х 0.

Теорема.Ф-я y=f(x)-диф-ма в т.х0существует f’(x0).Док-во:Необ-ть. Рассмотрим

lim (f(x0+∆х)-f(x0)/ ∆х) при ∆х0=(y=f(x)-диф-ма)=lim (A(x0) ∆х+ (∆х)/ ∆х)=(т.к предел суммы равен сумме пределов)=lim A(x0)+lim ( (∆х)/∆х)=A(x0)+0=A(x0)=f’(x0)она конечна, т.к A(x0)-это ф-ия, а значение ф-ии не может=бесконечности.Дост.,т.е дано что lim (f(x0+∆х)-f(x0)/ ∆х) при ∆х0=f’(x0)-конечная(по теореме о св. ф-ии ее предела и б.м). lim (f(x0+∆х)-f(x0)/ ∆х) при ∆х0(ф-я)=f’(x0)(ее предел)+a(∆х)(б.м) (f(x0+∆х)-f(x0)= f’(x0)* ∆х(=A(x0)* ∆х)+a(∆х)* ∆х(= *(∆х)).(по опр.y=f(x)-диф-ма т. x₀).

Билет 8.

1. Дать определение асимптоты графика функции. Доказать необходимое

и
достаточное условие существования наклонной асимптоты

прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика y=f(x), если

Н
еобходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты:

У графика функции y=f(x) существует наклонная асимптота

Доказательство:

Необходимость:дано: f(x) можно представить в виде: f(x)=kx+b+α(x), где α(x) – б. м. при x→∞

а) рассм.

б) рассм.

д
остаточность: т. е. дано а) и б).

рассмотрим б):по теореме о связи функции её предела и б. м., равенство б) означает, что

,а это и означает, что у функции y=f(x) есть асимптота y=kx+b.

Билет № 9

1. Доказать непрерывность одной из элементарных функций:

Функция f(x) называется непрерывной, если f(x) непрерывна в каждой своей точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ Є R, если для любого ε>0,

существует σ>0:|x- x₀ |< σ|f(x)-f(x₀)|<ε.

f(x)=x – непрерывна в т. x₀ Є R.

Доказательство: Рассмотрим |f(x)-f(x₀)|<ε и |x-x₀|<ε (1)

Возьмем σ=ε, тогда для любого ε>0, сущ-т σ=ε :для любого x |x-x₀|<σ (1),т.е. |f(x)-f(x₀)|<ε

Теорема: Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

Доказательство: Любую неэлементарную функцию можно получить из основных элементарных функций, при помощи конечного числа алгебраических операций и их композиций

=>эти функции тоже непрерывны(по теоремам о сумме, произведении и частном непрерывных функций).

2.Сформулировать и доказать необходимое условие монотонности дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть функция f(x) Є C[a,b]-непрерывна и дифференцируема в (a,b).Тогда f(x)-неубывающая(невозрастающая) на [a,b]  f’(x)>=0(=<0), для любого x Є (a,b).

Доказательство:1)Необходимость()

Т.е нам дано, что f(x) – неубывающая на [a,b] т.е. по опр, для любого x₁, x_{2 Є} [a,b]: x₁<x₂ => f(x₁)<=f(x₂).Рассмотрим (f(x+Δx)-f(x))/Δx, для любого x Є(a,b)

a) Если Δx>0, f(x+ Δx)-f(x)>=0  выражение (f(x+ Δx)-f(x))/( Δx)>=0

б) Если Δx<0, то f(x+ Δx)-f(x)=<0  выражение (f(x+ Δx)-f(x))/( Δx)>=0

Итак, (f(x+ Δx)-f(x))/( Δx)>=0

По теореме о предельном переходе в неравенстве lim (f(x+ Δx)-f(x))/( Δx)>=0

x→0

Такой предел существует, т.к. по усл. f(x)-дифференцируема в интервале (a,b), т.е. f’(x)>=0;

2)Достаточность()

Т.е. дано f’(x), для любого x Є (a,b): x₁<x_{2 ;}

На отрезке [x₁,x₂] наша функция f(x) 1)непрерывна и 2)дифференцируема в (x₁,x₂)

к ней можно применить теорему Лагранжа f(x₂)-f(x₁)=f’(ζ)(x₂-x₁), x₁<ζ<x₂

f(x2)-f(x1)>=0,то f(x1)<=f(x2), а это есть определение того, что f(x)-неубывающая на [a,b].

1. Билет 8 2. Записать формулу Маклорена и представления по этой формуле функций

e^x, cos x, sin x. Вывести одно из этих представлений.

I.

II.

т.к.

то формула Маклорена имеет вид

Здесь n – нечетное число x – в радианах. Очевидно, что на любом отрезке

справедлива следующая оценка остаточного члена:

I I I .

Билет 10. 1.Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. x₀(кроме быть может самой т. x₀) выполняется условие (2) g(x)<=f(x)<=h(x), то функция f(x) имеет в т. x₀ предел и этот предел равен А.

по условию (1)  для (здесь - наименьшая окрестность точки x₀).

Но тогда в силу условия (2) для значения f(x) так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .

1. 1. Дать определение дифференциала функции и объяснить его геометрический смысл.

Если f(x) – дифференцируема в точке x₀, то, как известно, её приращение в этой точке имеет вид:

при Δx0

Это дифференциал функции f(x) в точке x₀ , т. е. дифференциалом в т. x₀ называют часть приращения

Функции линейная относительно Δx.

Геометрический смысл дифференциала в точке - это приращение ординаты касательной в этой точке.

BC-дифференциал ф-ии, AC- приращение ф-ии. dy-диффернциал dy=f’(x₀) Δx

Билет 7. y=e^(2*x - 1- x²/2)

Y=(x-1)^2-8/(x+2)

Y’=2(x-1)+8/((x+2)^2) Билет 6

Y’’=2-16/((x+2)^3)

3.Исследовать функцию и построить ее график y=(x^3)/(3-x^2) (билет 9)

Асимптоты y=±3^(1/2),y=-x

Y’=(3*x^2*(3-x^2)-x^3*(-2*x))/(3-x^2)^2

Y’’=((3*2*x*(3-x^2)+3*x^2*(-2*x)-(3*x^2*(-2*x)+x^3*(-2)))*(3-x^2)^2-(3*x^2*(3-x^2)-x^3*(-2*x))*

2*(3-x^2)*(-2*x))/((3-x^2)^2)^2

y=(3x-x^3)^1/3. (8 билет)

исследовать функцию и построить её график y=1/(xln(-x)) (билет 10)

……..