30(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет № 30.

Дать определение функции непрерывной в точке (привести равносильные формулировки) и доказать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (lim f[g(x)] = f [lim g(x)]).

^{x – a x – a}

Пусть функции f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (и в самой точки x₀). Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀  существует lim f(x) = f(x₀)

^{x – x0}

Определение по Коши: Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ 

Определение по Гейне: Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ 

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции:

Пусть существует lim f(x) = a, и функция Y(y) непрерывна в точке a. Тогда если в некоторой проколотой окрестности * определена сложная функция Y(f(x)), то lim Y(f(x)) = Y lim f(x) = Y(a)

^{x -- * x -- *}

( знак предела и непрерывной функции можно переставлять местами). Доказательство:

, ч.т.д.

Дать определение векторной функции скалярного аргумента: и её производной. Касательная к пространственной кривой. Доказать теорему о производной векторной функции постоянной длины.

Рассмотрим [a,b]. Пусть любому поставлен в соответствии некоторый вектор , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента.

Пусть задана ортонормированная система координат с базисом , тогда

Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции .

Геометрический смысл векторной функции:

Ф ункции

соответствует некоторая кривая

Т акое представление кривой называют годографом. называется пределом функции скалярного аргумента при если:

.

Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение , тогда

.

Производной в точке называется предел разностного отношения при

, .

, .

Пусть . Предельное положение секущей при называют касательной к кривой Г в точке . . Тогда при касательная в точке параллельна вектору . Уравнение касательной: .

- каноническое уравнение касательной.

Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента , - является непрерывно-дифференцируемой функцией на , которой соответствует некоторая кривая Г: . Тогда длина дуги Г удовлетворяет: (при этом Г имеет конечную длину).

Доказательство: , где , по условию теоремы, функция непрерывно-дифференцируема, значит на отрезке - непрерывная функция. , (по 1 теореме Вейерштрасса). при .

f (x) = (x^3 + 1)/x

1. ОДЗ: x – R\{0}

2. функция общего вида, не периодичная.

3. асимптоты:

вертикальных асимптот нет

горизонтальных асимптот нет

4. 1 производная

f’(x)=(3*x^2*x-(x^3+1))/x^2

экстремумы: min: x = 0.79, y = 1.89.

5. 2 производная

f’’(x)=((3*2*x*x+3*x^2-3*x^2)*x^2-(3*x^2*x-(x^3+1))*2*x)/(x^2)^2

точки перегиба: x = 0, y = ∞

x = -1, y = 0

6. Нули f(x): x = -1 (y = 0)