49436 (Численные методы расчетов в Exel), страница 3

2016-07-29СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Численные методы расчетов в Exel", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "49436"

Текст 3 страницы из документа "49436"

По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,

где a11 , a12 , a13 элементы первой строки матрицы A,

A11 , A12 , A13 — их алгебраические дополнения.

- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;

- если detA ≠ 0, то обратная матрица существует.

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению: Aik = (-1)i+k · Mik ,

где i - номер строки матрицы,

k - номер столбца матрицы,

M - минор.

- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik

A11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А-1.

По определению:

A11 A21 A31

A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,

A13 A23 A33

где А11 , …, А33 - алгебраические дополнения матрицы А.

Для нахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:

A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A-1 · A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведем промежуточные вычисления:

С11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1 0 0

A-1 · A = 0 1 0 = E

0 0 1

Обратную матрицу нашли верно.

г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A-1 · B ,

где B — исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:

x1 = 0,521737

x2 = 0,391105

x3 = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица.

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8) ;

— в режиме значений — массив обратной матрицы.

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов:

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.

в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;

— в режиме значений — компоненты векторов решения x1 , x2 , x3 .

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

 

Математический расчет методом обратной матрицы

Обращение матрицы в EXCEL

x1

0,521737

0,521737318

x2

0,391105

0,391104998

x3

1,019069

1,019069651

1.3). Вывод.

Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы.

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные.

2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса.

Заданная нам система имеет вид:

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения. Получится система вида:

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

б) Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме получили систему:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы, т.е.

║C║=√Σaaj2 <1

В итерационной форме имеем систему:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x1 = 0 - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 1,288889

x2 = 2,8x1 / 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607

x3 = 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103

Проверка выполнения второго условия “НОРМА” :

0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0

C║ = √ У aij2 < 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2 + (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2

║C║= √ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2 +(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее