49436 (Численные методы расчетов в Exel)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный

технический университет

Институт управления производственными и

инновационными программами

Кафедра информатики

Контрольная работа по дисциплине

«Математика. Часть 2.»

Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема .

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона.

II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x₁ ; x₂ ; x₃ ; x₄ :

1) при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL ;

2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений

(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:

Основные понятия.

Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL.

Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов).

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “изменение, переделка”.

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x₀ , x_n) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”.

Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены P_n (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P_n (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е.

Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя.

Конечной разностью первого порядка называется разность:

Дy_i = yi + 1 - y_i , i = 0,1, .... , n – 1

Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

P_n (x) = y₀ + (x-x₀) · Дy₀ /1!h + (x-x₀)(x-x₁) · ДІy₀ /2!hІ+....+ (x-x₀)(x-x₁)…..(x-x_n-1) · Дⁿy₀ / n!hⁿ

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ).

P_n(x) = P₉(x)= y₀ + (x-x₀) Дy₀ / 1!h  +  (x-x₀) (x-x₁) ДІy₀ /2!h²+..

..+ (x-x₀)(x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) (x-x₅) (x-x₆) (x-x₇) (x-x₈) (x-x₉) Д⁹y₀ / 9!h⁹ =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·  0,05 ² +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3!  · 0,05 ³ +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) ·  (-0,001) / 4! ·  0,05 ⁴ +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) ·  0 / 5!  · 0,05 ⁵ +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 ⁶ +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!  · 0,05 ⁸ +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 ⁹.

Выполнение задания II.

1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL:

а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).

б) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.

в) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка:

а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy_{0 =} y₁ – y₀, которая примет вид: =C6–C5;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy₁ =y₂ - y₁ = 0,779 – 0,819 = -0,040),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy₂ = y₃ – y₂ = 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13 (т.е. Дy₈ = y₉ – y₈ = 0,549 – 0,577= -0,028)

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5 (т.е. ДІy₀ = Дy₁ - Дy₀ = -0,040 - ( -0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy₇ = Дy₈ - Дy₇= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001).

в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка:

для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.

Шаг третий:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x₀/1!h) в ячейку M5 введем формулу

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x₀) (x- x₁)/2!hІ = (x-x₀)/1·h · (x-x₁)/ 2·h = a · b,

где a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x₀)/1h,

b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x₁) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.

а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 , в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и

т.д.

Шаг четвертый: