Пояснительная записка (Анализ совместной работы систем тягового и внешнего электроснабжения), страница 4

Перед составлением матрицы M следует произвольно указать направления токов в схеме. Элемент матрицы M_mn (индекс m показывает номер узла, а индекс n ­­– номер ветви) может принимать значения -1, 1 и 0. Элемент матрицы принимает значение «1», если ток выходит из рассматриваемого узла, «-1» – если ток входит в узел, и «0», если ток не связан с данным узлом. Таким образом, составление матрицы M формально является аналогичным составлению системы уравнений по 1 закону Кирхгофа. Важным свойством матрицы M является то, что она содержит в себе исчерпывающую информацию о конфигурации сети: с помощью этой матрицы можно однозначно восстановить схему сети.

Вторая матрица инциденций, называемая матрицей соединений в контурах, также является прямоугольной таблицей. Номер её строки отвечает номеру рассматриваемого независимого контура, а номера столбцов так же, как и в матрице M – номерам ветвей схемы. Значит, вторая матрица инциденций (обозначается буквой N) имеет число строк, равное числу независимых контуров схемы, и число столбцов, равное числу ее ветвей. Элементы матрицы N принимают те же значения, что и элементы матрицы M. Перед составлением матрицы N следует выбрать все независимые контуры схемы и обозначить направления их обхода (против или по часовой стрелке). Элемент матрицы принимает значение, равное «1», если ток входит в рассматриваемый контур и направление его в схеме совпадает с заданным направлением обхода контура, «-1» – если ток входит в контур и направление его противоположно направлению его обхода, и «0» – если ток не входит в рассматриваемый контур.

Вторая матрица инциденций в общем виде выглядит следующим образом:

. (7)

Индекс k элемента матрицы N_kn показывает номер рассматриваемого независимого контура, а индекс n ­­– номер ветви схемы. Несложно заметить, что матрица N является аналогом системы уравнений по 2 закону Кирхгофа.

В учебной литературе [5, 6] рассматривается метод расчета сложно-замкнутых сетей, называемый «методом узловых напряжений». С его помощью можно получить падения напряжений от базисного (балансирующего) узла схемы до всех остальных ее узлов. Имея значение напряжения в балансирующем узле (которое предполагается известным) и матрицу падений напряжений, можно вычислить матрицу напряжений в узлах интересующей нас схемы.

Методу узловых напряжений соответствует его матричная форма записи:

, (8)

где – матрица-столбец падений напряжений от базисного узла до остальных узлов схемы; – обратная диагональная матрица узловых проводимостей ветвей; – матрица-столбец задающих токов в узлах.

Матрица узловых проводимостей определяется согласно следующему уравнению:

, (8.1)

где – обратная диагональная матрица сопротивлений ветвей схемы (матрица проводимостей ветвей); – транспонированная матрица M.

Диагональная матрица сопротивлений ветвей имеет следующий вид:

, (8.1.1)

где – сопротивление n-й ветви схемы, Ом.

Сопротивление ветвей схемы определяют согласно формуле

, (8.1.2)

где – погонные (удельные) активное и индуктивное сопротивления проводов ЛЭП, Ом/км; – длина участка ЛЭП, км.

Матрица-столбец задающих токов в узлах выглядит следующим образом:

. (8.2)

Число строк в матрице J равно сумме строк матриц M и N, т.е. сумме чисел узлов и независимых контуров. Число задающих токов на единицу меньше числа узлов в схеме. Матрица заполняется сверху вниз по порядку номеров узлов схемы, все незаполненные ячейки в конце матрицы заполняются нулями.

Итак, задача нахождения падения напряжения между рассматриваемым и базисным узлом схемы сводится к составлению первой матрицы индиценций M, диагональной матрицы сопротивлений Z_вд и матрицы задающих токов J в узлах рассматриваемой схемы.

Чтобы применить вышерассмотренный метод к системе внешнего электроснабжения, нужно решить еще несколько задач. Рассмотрим упрощенную схему двухстороннего питания тяговых подстанций (рисунок 11), которая является наиболее распространенной, т.к. обеспечивает большую надежность:

Рисунок 11 – Упрощенная схема двухстороннего

питания тяговых п/ст

Обозначения на рисунке ИП1 и ИП2 показывают источники питания рассматриваемой схемы (ими, как правило, являются мощные районные подстанции), штриховые линии показывают линии электропередач, соединяющие между собой источники питания и подстанции. Штриховая линия изображена вместо сплошной т.к. существуют различные схемы подключений тяговых п/ст к системе внешнего электроснабжения (см. параграф 1.1) и вариантов схем данного участка достаточно много.

Ранее было сказано, что число задающих токов для решения матричного уравнения (8) должно быть на единицу меньше числа узлов в схеме. Как видно из рисунка 11 число узлов в схеме с двухсторонним питанием равно числу тяговых п/ст плюс два узла с источниками питания. Задающие токи в узлах, к которым подключены тяговые подстанции, считаются известными (алгоритм расчета токов п/ст описан в параграфе 2.1). Следовательно, для составления матрицы-столбца задающих токов (8.2) нужно знать еще один из токов в схеме, и этим током может быть один из токов источников питания, т.е. можно выбрать ток со стороны ИП1, либо со стороны ИП2.

В курсе «Электрические сети и энергосистемы» рассматривается задача по определению токов со стороны источников питания (там они называются токи головных участков) в схемах с двухсторонним питанием и в кольцевых сетях. Эти токи определяются в соответствии со следующим выражением:

, (9)

где j – число узлов в схеме за исключением узлов с источниками; I_i – ток i-го узла рассматриваемой схемы, А; Z_iK – сумма сопротивлений участков от рассматриваемого узла схемы до противоположного источника питания, обозначенного буквой K, Ом; p – число участков между узлами; Z_i – сопротивление i-го участка между узлами схемы, Ом.

Данную формулу в некоторых источниках [5] называют «формулой моментов», т.к. она имеет такую же структуру, что и уравнение для определения реакции опор из дисциплины «Сопротивление материалов». Таким образом, задача по нахождению недостающего элемента для матрицы задающих токов J решена при помощи формулы (9).

Еще одной задачей является нахождение зарядных токов линий электропередач, т.к. неучет данных токов приводит к большой погрешности в сетях с высоким напряжением (110 кВ и выше). Пренебрежение зарядными токами обычно допускается в сетях с низким напряжением (до 1 кВ), а иногда и в сетях с напряжением до 35 кВ включительно, если они не являются протяженными.

Выражение для нахождения зарядного тока (фазного) линии электропередач имеет следующую форму:

, (10)

где – номинальное (междуфазное) напряжение ЛЭП, кВ; – погонная (удельная) емкостная проводимость линии, См/км; L – длина линии, км; с – комплексный коэффициент, равный: для фазы A – , B – , C – .

Стоит отметить, что выражение (10) используется для П-образных схем замещения линий электропередач, в которых суммарный зарядный ток разделен поровну и сосредоточен в начале и конце линии. Использование П-образной схемы позволяет перейти от нагрузок подстанций к т.н. расчетным нагрузкам, которые находят согласно формуле

, (11)

где I_р – расчетный ток п/ст, А; I_п/ст – ток (фазный) п/ст, А; – сумма зарядных токов примыкающих к п/ст линий электропередач, А.

Введение в схему расчетных нагрузок, которые группируют между собой токи подстанций с зарядными токами, позволяет значительно сократить число токов в схеме, тем самым упрощая ее. Таким образом, задача по учету зарядных токов в схеме свелась к использованию формул (10) и (11).

Найденные расчетные нагрузки п/ст и являются задающими токами в узлах, которые используют для составления матрицы J (см. формулу 8.2) и при нахождении токов головных участков по выражению (9).

Используя все вышеприведенные формулы, можно определить матрицу падений напряжений, а затем определить комплексные значения напряжений в узлах схемы согласно следующему выражению:

, (12)

где U – матрица-столбец напряжений в узлах схемы; U₀ – напряжение базисного узла (напряжение источника питания), В; [1] – единичная матрица-столбец, число строк которой равно числу подстанций в схеме.

Заключительным шагом является разложение комплексных значений напряжений на системы прямой и обратной последовательности, нахождение их модулей и определение коэффициентов несимметрии напряжения на шинах п/ст:

; (13.1)

; (13.2)

. (13.3)

Подводим итог – задача по нахождению комплексных значений напряжений на шинах тяговых подстанций, включенных в рассматриваемую систему внешнего электроснабжения и питаемых от двух независимых источников питания, сводится к следующим действиям:

1) Произвольная расстановка направлений токов в схеме;

2) Составление первой матрицы индиценций M;

3) Составление диагональной матрицы сопротивлений ветвей;

4) Вычисление зарядных токов и расчетных нагрузок п/ст;

5) Нахождение одного из двух токов источников питания;

6) Составление матрицы задающих токов J;

7) Решение матричного уравнения (8);

8) Нахождение напряжений в узлах схемы согласно (12);

9) Разложение на системы прямой и обратной последовательности;

10) Определение коэффициента несимметрии напряжения

Как видно, пункты 1, 2 и 3 требуют наличие действий со стороны человека, оставшиеся 7 действий может выполнить ЭВМ.

Можно приступать к составлению алгоритма расчета несимметрии напряжений в узлах заданной схемы. В отличие от алгоритма расчета токов тяговых п/ст (см. рисунок 7), схема данного алгоритма не является разветвленной и сводится к последовательному выполнению вычислительных операций.

Укрупненная блок-схема данного алгоритма показана на рисунке 12.

Рисунок 12 – Блок-схема алгоритма расчета

несимметрии напряжений

Блок ввода исходных данных, реализованный в программе Mathcad, изображен на рисунке 13.

Рисунок 13 – Реализация блока ввода исходных данных в Mathcad

Реализация блока №1 «Расчет зарядных токов и расчетных нагрузок схемы» в программе Mathcad проиллюстрирована на рисунке 14.

Рисунок 14 – Реализация блока №1 в Mathcad

Данный вариант программы предназначен для участка с двухсторонним питанием, на котором расположены три тяговых подстанции. При наличии большего числа подстанций (например, X п/ст) следует преобразовать блок ввода исходных данных – добавить X-3 матриц токов оставшихся п/ст, а также произвести изменения в блоках №2 и №3 – преобразовать уравнения токов источников питания и матрицу задающих токов, добавив в них X-3 соответствующих элементов. Оставшаяся часть программы не претерпевает изменений. При необходимости можно заранее составить блоки №2 и №3 для любого числа подстанций на участке и быстро менять их при расчете.

Принцип расчета зарядных токов в данной программе следующий: при составлении матрицы M (см. рисунок 13) нумерация узлов идет слева направо, начиная от источника питания ИП1 (т.е. узел «0» соответствует ИП1, узел «1» – п/ст №1 и т.д.) до ИП2. После получения данной матрицы из нее выделяется подматрица путем вычеркивания первой строки исходной матрицы (в Mathcad для этого служит операция submatrix), затем все элементы этой матрицы возводятся в квадрат. Это сделано для того, чтобы заменить элементы «-1» значением «1». При умножении данной подматрицы на матрицу-столбец длин линий L (это возможно, т.к. число столбцов подматрицы M совпадает с числом строк матрицы L и равно числу ветвей в схеме). В итоге получится матрица-столбец с числом строк равным числу п/ст в схеме. Каждый элемент ее численно представляет собой сумму длин линий, связанных с данной п/ст. Для завершения вычисления зарядных токов согласно выражению (10) остается лишь умножить данную матрицу на известные константы (фазное напряжение ЛЭП, погонную емкостную проводимость и 1/2).

Реализация остальных блоков не имеет каких-либо особенностей и выполнена в соответствии с ранее указанными формулами и выражениями. Стоит лишь отметить, что программа рассчитывает коэффициенты несимметрии в разные моменты времени. В рассматриваемом варианте 5 значений соответствуют интервалу времени от 1 до 5 минут, это сделано только для удобства восприятия. На самом деле, современные системы мониторинга выдают массивы, насчитывающие сотни или тысячи замеренных значений. Поэтому в практических расчетах размеры блока исходных данных и вывода результатов будут ощутимо больше главным образом за счет огромного числа строк в матрицах токов тяговых п/ст и коэффициентов несимметрии напряжений (Mathcad допускает предельное число строк и столбцов матриц, равное 600).