26-29(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет № 26. Вывести следствия из первого замечательного предела.

tg x

1. lim —— = 1

^{x -- 0} x

tg x sin x / x

lim —— = lim ———— = 1

^{x -- 0} x ^{x – 0} cos x (=1)

cos x - 1

1. lim ———— = 1

^{x -- 0} x² / 2

cos x - 1 2 sin² (x/2) sin² (x/2)

lim ———— = lim ———— = lim ———— = 1

^{x -- 0} x² / 2 ^{x – 0} x² / 2 ^{x – 0} x² / 4

arcsin x

1. lim ———— = 1

^{x -- 0} x

arcsin x t

lim ———— = lim ——— = 1

^{x – 0} x ^{t – 0} sin t

arctg x

1. lim ———— = 1

^{x -- 0} x

arctg x t

lim ———— = lim ——— = 1

^{x – 0} x ^{t – 0} tg t

Билет № 29.

Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Пусть при имеет конечный предел А₁, при имеет конечный предел А₂, и существует : для , тогда .

Доказательство:

,

,

Пусть

Это неравенство выполняется для любого , отсюда

Билет 26 .Дать определение локального экстремума функции и доказать необходимое условие его существования(теорему Ферма).

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.

Доказательство: следует из теоремы Ферма.

Дано: точка – точка локального экстремума.

Доказать: .

Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0.

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .

Билет 29(2)

Дать определение длины плоской кривой. Вывести формулу для нахождения производной и дифференциала длины дуги плоской кривой, Объяснить геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

- средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S₀ называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении к нулю. .

. Если , то полагают , прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Некоторые свойства эволюты и эвольвенты:

1. Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны.

2. При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

Билет № 27. Доказать теорему о непрерывности композиции непрерывной функции.

Пусть - непрерывна в точке x=a, а функция - непрерывна в точке b=f(a), …..тогда сложная функция z=g(f(x)) – непрерывна в точке x=a.

Доказательство: Т.к g(y) – непрерывна в точке y=b, то …. , т.к. y=f(x) – непрерывна в точке x=a, то …..

….. Замечание:

Доказать теорему Роля и объяснить её геометрический смысл.

Пусть дана функция .Определена и непрерывна на отрезке .Дифференцируема на …..интервале .И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .

Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме …….Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения. , ……. , , .

Случаи: , - любое из интервала в силу 3-го ……..условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во ……..внутренней точке интервала(a;b).Согласно второму условию теоремы Роля, функция ……..дифференцируема на интервале (a;b) в любой точке, то по теореме Ферма существует ……. .(это точка Е – точка местного экстремума функции!!!)

...

Билет № 28.

1.Сформулировать теоремы об арифметических свойствах предела функции при х -- * и доказать одну из них.

Если существует lim f(x) = A и lim g (x) = B (x -- *), то:

f(x) A

lim ——= — (если B ≠ 0)

g(x) B

lim [f(x) * g(x)] = A * B

lim [f(x) + g(x)] = A + B

Доказательство:

lim f(x) = A  f(x) = A + α(x) ( α(x) – б.м. при x -- *)

lim g(x) = B  g(x) = B + ω(x) (ω(x) – б.м. при x -- *)

f(x) + g(x) = A + B + α(x) + ω(x) ( α(x) + ω(x) = φ(x) – б.м. при x -- *)

 lim [f(x) + g(x)] = A + B, ч.т.д.

2.Рассказать о применение правила Лопиталя – Бернулли для раскрытия неопределённостей ……вида [0 * ∞] [1^∞] [0⁰] [∞⁰].

f (x) = arcctg(2*3^(1/2)/x^2) Билет 29

1. ОДЗ: x – R\{0}

2. функция четная(симметрична относит. оси OY), не периодичная.

3. асимптоты:

вертикальных асимптот нет

горизонтальная асимптота: y = π/2

4. 1 производная

f’(x)=-1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 2*3^(1/2) *2*x)/(x^2)^2

экстремумы: min: x = 0, y = 0.

5. 2 производная

f’’(x)=-(((-2*2*3^(1/2)/x^2*(-2*3^(1/2)*2*x)/(x^2)^2)/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)^2*(-4*3^(1/2)6.9282032*x)+1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 4*3^(1/2)))*(x^2)^2-1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 4*3^(1/2) *x)*2*x^2*2*x)/((x^2)^2)^2

точки перегиба: x = -1.41, y = 0.52

x = 1.41, y = 0.52

6. Нули f(x): x = 0 (y = 0)

f (x) = (1-x)/((x-1)^3+2) (26 билет)

1. ОДЗ: x – R\{-2^(1/3) + 1}

2. функция общего вида, не периодич.

3. асимптоты:

x = -2^(1/3) + 1 – вертикальная

наклонные асимптоты: y = 0.

4. 1 производная

f’(x)=(-((x-1)^3+2)-(1-x)*3*(x-1)^2)/((x-1)^3+2)^2

экстремумы: min: x = 2, y = -0.33

5. 2 производная

f’’(x)=((-3*(x-1)^2-((-3)*(x-1)^2+(1-x)*3*2*(x-1)))*((x-1)^3+2)^2-(-((x-1)^3+2)-(1-x)*3*(x-1)^2)*2*((x-1)^3+2)*3*(x-1)^2)/(((x-1)^3+2)^2)^2

точки перегиба: x = 2.59, y = -0.264

6. Нули f(x): x = 1 (y = 0)

билет 26

4. 1 производная ( 27 билет)

f’(x) = exp(-x^2/2)+x*exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4)

экстремумы: min: x = -1, y = -0.61

max: x = 1, y = 0.61

5. 2 производная

f’’(x)=exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4)+(exp(-x^2/2)+x*exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4))*(-2*x*2/4)-x*exp(-x^2/2)

точки перегиба: x = -1.73, y = -0.39

x = 0, y = 0

x = 1.73, y = 0.39

1. Нули f(x): x = 0 (y = 0

f (x) = (5-x)^1/3 + (-1-x)^1/3 (билет 28)

1. ОДЗ: x – R

2. функция общего вида, не периодичная.

3. асимптоты:

вертикальных асимптот нет

наклонных асимптот нет

4. 1 производная

f’(x)=(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x))+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x))

экстремумов нет.

5. 2 производная

f’’(x)=(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x))*(-(1/3)/(5-x))+(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x)^2)+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x))*(-(1/3)/((-1)-x))+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x)^2)

точки перегиба: x = -1, y = 1.817

x = 2, y = 0

x = 5, y = -1.817

6. Нули f(x): x = 2 (y = 0)