Билет № 26. Вывести следствия из первого замечательного предела. tg x -
lim —— = 1 x -- 0 x tg x sin x / x lim —— = lim ———— = 1 x -- 0 x x – 0 cos x (=1) cos x - 1 -
lim ———— = 1 x -- 0 x2 / 2 cos x - 1 2 sin2 (x/2) sin2 (x/2) lim ———— = lim ———— = lim ———— = 1 x -- 0 x2 / 2 x – 0 x2 / 2 x – 0 x2 / 4 arcsin x -
lim ———— = 1 x -- 0 x arcsin x t lim ———— = lim ——— = 1 x – 0 x t – 0 sin t arctg x -
lim ———— = 1 x -- 0 x arctg x t lim ———— = lim ——— = 1 x – 0 x t – 0 tg t | Билет № 29. Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве. Пусть при имеет конечный предел А1, при имеет конечный предел А2, и существует : для , тогда . Доказательство: , , Пусть Это неравенство выполняется для любого , отсюда |
Билет 26 .Дать определение локального экстремума функции и доказать необходимое условие его существования(теорему Ферма). Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0. Доказательство: следует из теоремы Ферма. Дано: точка – точка локального экстремума. Доказать: . Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0. Т. Ферма: Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю. Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. . | Билет 29(2) Дать определение длины плоской кривой. Вывести формулу для нахождения производной и дифференциала длины дуги плоской кривой, Объяснить геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г. - средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S0 называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении к нулю. . . Если , то полагают , прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Некоторые свойства эволюты и эвольвенты: -
Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны. -
При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны. Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г. |
Билет № 27. Доказать теорему о непрерывности композиции непрерывной функции. Пусть - непрерывна в точке x=a, а функция - непрерывна в точке b=f(a), …..тогда сложная функция z=g(f(x)) – непрерывна в точке x=a. Доказательство: Т.к g(y) – непрерывна в точке y=b, то …. , т.к. y=f(x) – непрерывна в точке x=a, то ….. ….. Замечание: Доказать теорему Роля и объяснить её геометрический смысл. Пусть дана функция .Определена и непрерывна на отрезке .Дифференцируема на …..интервале .И на концах отрезка принимает одинаковые значения. . Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу . Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме …….Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения. , ……. , , . Случаи: , - любое из интервала в силу 3-го ……..условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во ……..внутренней точке интервала(a;b).Согласно второму условию теоремы Роля, функция ……..дифференцируема на интервале (a;b) в любой точке, то по теореме Ферма существует ……. .(это точка Е – точка местного экстремума функции!!!) | ... |
Билет № 28. 1.Сформулировать теоремы об арифметических свойствах предела функции при х -- * и доказать одну из них. Если существует lim f(x) = A и lim g (x) = B (x -- *), то: f(x) A lim ——= — (если B ≠ 0) g(x) B lim [f(x) * g(x)] = A * B lim [f(x) + g(x)] = A + B Доказательство: lim f(x) = A f(x) = A + α(x) ( α(x) – б.м. при x -- *) lim g(x) = B g(x) = B + ω(x) (ω(x) – б.м. при x -- *) f(x) + g(x) = A + B + α(x) + ω(x) ( α(x) + ω(x) = φ(x) – б.м. при x -- *) lim [f(x) + g(x)] = A + B, ч.т.д. 2.Рассказать о применение правила Лопиталя – Бернулли для раскрытия неопределённостей ……вида [0 * ∞] [1∞] [00] [∞0]. | |
f (x) = arcctg(2*3^(1/2)/x^2) Билет 29 1. ОДЗ: x – R\{0} 2. функция четная(симметрична относит. оси OY), не периодичная. 3. асимптоты: вертикальных асимптот нет горизонтальная асимптота: y = π/2 4. 1 производная f’(x)=-1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 2*3^(1/2) *2*x)/(x^2)^2 экстремумы: min: x = 0, y = 0. 5. 2 производная f’’(x)=-(((-2*2*3^(1/2)/x^2*(-2*3^(1/2)*2*x)/(x^2)^2)/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)^2*(-4*3^(1/2)6.9282032*x)+1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 4*3^(1/2)))*(x^2)^2-1/(1+(2*3^(1/2)/x^2)^2)*(- 4*3^(1/2) *x)*2*x^2*2*x)/((x^2)^2)^2 точки перегиба: x = -1.41, y = 0.52 x = 1.41, y = 0.52 6. Нули f(x): x = 0 (y = 0) | f (x) = (1-x)/((x-1)^3+2) (26 билет) 1. ОДЗ: x – R\{-2^(1/3) + 1} 2. функция общего вида, не периодич. 3. асимптоты: x = -2^(1/3) + 1 – вертикальная наклонные асимптоты: y = 0. 4. 1 производная f’(x)=(-((x-1)^3+2)-(1-x)*3*(x-1)^2)/((x-1)^3+2)^2 экстремумы: min: x = 2, y = -0.33 5. 2 производная f’’(x)=((-3*(x-1)^2-((-3)*(x-1)^2+(1-x)*3*2*(x-1)))*((x-1)^3+2)^2-(-((x-1)^3+2)-(1-x)*3*(x-1)^2)*2*((x-1)^3+2)*3*(x-1)^2)/(((x-1)^3+2)^2)^2 точки перегиба: x = 2.59, y = -0.264 6. Нули f(x): x = 1 (y = 0) |
| 4. 1 производная ( 27 билет) f’(x) = exp(-x^2/2)+x*exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4) экстремумы: min: x = -1, y = -0.61 max: x = 1, y = 0.61 5. 2 производная f’’(x)=exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4)+(exp(-x^2/2)+x*exp(-x^2/2)*(-2*x*2/4))*(-2*x*2/4)-x*exp(-x^2/2) точки перегиба: x = -1.73, y = -0.39 x = 0, y = 0 x = 1.73, y = 0.39 -
Нули f(x): x = 0 (y = 0 |
| f (x) = (5-x)^1/3 + (-1-x)^1/3 (билет 28) 1. ОДЗ: x – R 2. функция общего вида, не периодичная. 3. асимптоты: вертикальных асимптот нет наклонных асимптот нет 4. 1 производная f’(x)=(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x))+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x)) экстремумов нет. 5. 2 производная f’’(x)=(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x))*(-(1/3)/(5-x))+(5-x)^(1/3)*(-(1/3)/(5-x)^2)+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x))*(-(1/3)/((-1)-x))+((-1)-x)^(1/3)*(-(1/3)/((-1)-x)^2) точки перегиба: x = -1, y = 1.817 x = 2, y = 0 x = 5, y = -1.817 6. Нули f(x): x = 2 (y = 0) |