9-10Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа), страница 2
Описание файла
Файл "9-10Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "9-10Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст 2 страницы из документа "9-10Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы, называется общим решением системы.
В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r — ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободные переменные по формулам
Здесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных. Вообще говоря, это могут быть любые r переменных.
Итак, , — т.е. базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные.
Построим n-r ненулевых решений однородной системы специальным образом.
Сначала положим и полученное решение обозначим .
Затем положим и полученное решение обозначим ,
и т.д., и, наконец, положим и полученное решение обозначим . Имеем (см. док-во теоремы о нетривиальной совместности)
Нетрудно видеть, что эти n-r ненулевые решения линейно независимы.
Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы :
Минор этой матрицы, расположенный в последних n-r строках равен 1, отличен от нуля. Это означает, что ранг матрицы равен n-r и что ее n-r столбца линейно независимы. А столбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы .
С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными выше формулами, можно записать в виде:
Здесь произвольные значения свободных переменных обозначены буквами .
Подведем итог:
-
построена система , состоящая из n-r линейно независимых решений однородной системы;
-
множество решений однородной системы — линейное подпространство.
Тогда можно утверждать:
Определение. Система , состоящая из n-r линейно независимых решений однородной системы , , RgA=r , называется фундаментальной системой решений однородной системы.
Выше мы доказали следующие утверждения.
Утверждение. Фундаментальная система решений однородной системы — базис пространства решений однородной системы.
Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: .
Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений
Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли система нетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение.
Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса):
Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают.
Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):
Запишем эквивалентную систему уравнений:
Главный минор матрицы этой системы — .
Следовательно, переменные — базисные переменные, а — свободные.
Перенесем свободные переменные вправо:
Получили выражение базисных переменных через свободные. Такое выражение — общее решение однородной системы, записанное «на языке систем».
Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:
Тогда вектор — решение однородной системы.
Затем положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:
Тогда вектор — решение однородной системы.
Векторы — линейно независимые решения однородной системы размерность пространства решений которой d = n– r = 4 – 2 = 2, т.е. — базис пространства решений.
Запишем общее решение системы:
Верно.
Ответ: Общее решение системы , — произвольные постоянные. Базис в пространстве решений системы — , .
Структура общего решения неоднородной системы
Вспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы:
Если и — два решения системы , то вектор — решение приведенной однородной системы .
Поскольку выражение задает все решения однородной системы, то для любых двух решений и неоднородной системы справедливо
и, следовательно, выражение позволяет вычислить любое решение неоднородной системы.
Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы.
Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде
где — произвольные константы, а — фундаментальная система решений приведенной однородной системы, — некоторое известное (частное) решение неоднородной системы.
Пример 2. Исследуем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений
Исследовать неоднородную систему — ответить на вопрос является ли система совместной, и если является, то найти ее общее решение.
Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса):
Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен двум:
RgAp =RgA= r = 2, система совместна. Число неизвестных n =4, r < n — приведенная однородная система нетривиально совместна.
Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают.
Продолжим преобразование расширенной матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):
Запишем эквивалентную систему уравнений:
Как и в примере 1, переменные — базисные переменные, а — свободные.
Перенесем свободные переменные вправо:
Получили выражение базисных переменных через свободные переменные. Такое выражение — общее решение неоднородной системы, записанное «на языке систем».
Найдем частное решение неоднородной системы. Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:
и тогда вектор — частное решение неоднородной системы.
Приведенная однородная система — система из примера 1.
Воспользуемся решением предыдущего примера:
, — фундаментальная система приведенной однородной системы, — общее решение приведенной однородной системы.
Проверим:
Верно.
Ответ: Система совместна, ее общее решение
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса-Жордана
Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим — j-й столбец обратной матрицы. Тогда, поскольку A∙A-1=E, то, очевидно, справедливо:
т.е. — матрица-столбец, все элементы которой, кроме j-го равны нулю, а элемент, расположенный в j-й строке равен единице.
Эти n систем можно решать методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку у всех у них одна и та же матрица. Запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:
Матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица. Действительно, в (n+1)-м столбце — решение системы , т.е. первый столбец обратной матрицы, в (n+2)-м столбце — решение системы , т.е. второй столбец обратной матрицы, и т.д., в (n+ n)-м столбце — решение системы , т.е. n-й столбец обратной матрицы.
Пример 3. Найдем методом Гаусса-Жордана матрицу, обратную к матрице .
Решение