lektsia_10_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

17

Лекция 10

Уравнения плоскости и прямой в пространстве

1.Различные виды уравнения плоскости

Пусть некоторая точка; вектор нормали к искомой плоскости P. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ( см. рисунок ).

P

Обозначим через текущую точку пространства.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: Очевидно, тогда и только тогда, когда Отсюда получаем уравнение искомой плоскости:

(1)

Перепишем уравнение (1) в другом виде, получим общее уравнение плоскости (2):

Общее уравнение плоскости

(2)

Здесь

Замечание.

Зная общее уравнение плоскости, можно выписать координаты вектора нормали. Они совпадают с коэффициентами при переменных x, y, z.

Примеры.
1. Выпишем уравнение плоскости, проходящей через точку (1,2,3) перпендикулярно вектору :

2. Выпишем уравнение нормали к плоскости

Пусть известны координаты трех точек (не лежащих на одной прямой), принадлежащих искомой плоскости Выпишем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки .

Обозначим через текущую точку пространства. Очевидно, что эта точка принадлежит плоскости P тогда и только тогда, когда векторы компланарны (см.рисунок):

Запишем условие компланарности трех векторов:

Уравнение плоскости по трем точкам

(3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости по трем точкам.

Пусть некоторая плоскость дана своим общим уравнением:

причем

Перепишем это уравнение в виде

иначе

Уравнение плоскости

«в отрезках»

(4)

Уравнение (4) называется уравнением плоскости «в отрезках». Отметим, что

Величины имеют простой геометрический смысл. Их модули равны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью от осей координат ( см. рисунок ):

Z

|c|

|b|

Y

|a|

X

Примеры.

1.Выпишем общее уравнение плоскости, проходящей через три точки

2.Вычислим отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат.

где Длины отрезков равны

Перейдем к составлению нормального уравнения плоскости. Пусть перед нами поставлена следующая задача:

написать уравнение плоскости, удаленной от начала координат на расстояние и имеющей нормальный вектор :

Обозначим через текущую точку пространства. Пусть проекция точки О ( начала координат ) на плоскость P ( см.рисунок );

Z

Q

M

A

O

Y

X

Очевидно, Имеем: Очевидно, что точка M принадлежит плоскости P тогда и только тогда когда

Отсюда получаем:

(

Нормированное уравнение плоскости

5)

Уравнение (5) называется нормированным уравнением плоскости. В нем направляющие косинусы вектора нормали, p расстояние от начала координат до плоскости P.

Пусть известно нормированное уравнение плоскости (5).

Определение. Величина называется отклонением точки от плоскости P.

Утверждение.

если точки О и М лежат по одну сторону от плоскости P

если точки О и М лежат по разные стороны от плоскости P

Доказательство. Рассмотрим случай, когда точки М и О лежат по разные стороны от плоскости Р (другой случай рассматривается аналогично).

Z

Q

Y

M

A

Y

O

X

Очевидно, .

Предположим, плоскость P задана своим общим уравнением. Чтобы нормировать уравнение плоскости, умножим обе части общего уравнения плоскости на так называемый нормирующий множитель μ,

Искомое нормированное уравнение плоскости P

,

где

.

Примеры.

1.Запишем уравнение плоскости в нормальном виде:

2. Найдём отклонение точки от данной плоскости, а также расстояние от точки до плоскости P.

Точки и О лежат по одну сторону от плоскости Р, так как .

2.Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Исследуем взаимное расположение плоскостей .

1 случай. Плоскости параллельны, но не совпадают. В этом случае векторы должны быть коллинеарны, но плоскости должны быть различны.

2 случай. Плоскости совпадают. Векторы коллинеарны.

3 случай. Плоскости пересекаются ( по прямой ). В этом случае векторы должны быть неколлинеарны.

неверная пропорция.

Очевидно, что в случае 3 угол между плоскостями равен углу между нормалями:

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Необходимо выписать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные при пересечении плоскостей . Обозначим искомые плоскости как

Обозначим через текущую точку пространства. Точка принадлежит одной из плоскостей тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от плоскостей :

Выбираем в последнем соотношении знаки «+» или «-» в обозначении « », получим уравнения плоскостей

Рассмотрим три плоскости , заданные своими общими уравнениями: .

Обсудим взаимное расположение плоскостей

Очевидно, возможны следующие случаи:

1) Плоскости параллельны (но не совпадают). В этом случае векторы нормалей должны быть коллинеарны:

2) Плоскости пересекаются по трем параллельным прямым. В этом случае векторы нормалей должны быть компланарны, но система уравнений, состоящая из общих уравнений плоскостей, должна быть несовместна:

,

3

) Две плоскости параллельны между собой, но пересекаются с третьей плоскостью:

Выпишите условия самостоятельно.

4) Три плоскости пересекаются вдоль прямой. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна быть совместна, ранг матрицы системы должен быть равен 2. Отсюда получаем:

.

5) Плоскости пересекаются в одной точке. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна обладать единственным решением:

3.Различные уравнения прямой в пространстве

Пусть некоторая фиксированная точка пространства, фиксированный вектор. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку параллельно вектору (вектор называется направляющим вектором прямой L ).

M

Обозначим через текущую точку пространства. Очевидно, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны (см.рисунок):

L

L

L

Канонические уравнения прямой

(1)

Уравнения (1) называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание.

Канонические уравнения (1) понимаются как пропорции один или два из знаменателей могу быть равны нулю.

Пример.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси .

Имеем: Отсюда канонические уравнения искомой прямой имеют вид

.

Перейдем к выводу параметрических уравнений прямой.

Пусть некоторая прямая задана своими каноническими уравнениями:

Приравниваем дробь величине ( некоторый параметр,

Параметрические уравнения прямой,

(2)

Параметрические уравнения (2) удобно использовать при решении различных задач, например, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью :

Запишем параметрические уравнения прямой :

P

L

A

Подставим правые части этих уравнений в уравнение плоскости , получим:

Отсюда точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

Перейдем к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки и :

L

В качестве направляющего вектора берём вектор Обозначим через текущую точку пространства. Точка M принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Тогда канонические уравнения прямой, проходящей через точки имеют вид:

Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки плоскости

(3)

Пример.

Запишем уравнения прямой, проходящей через точки и

Рассмотрим две непараллельные плоскости , определенные своими общими уравнениями ( см. рисунок):

Непараллельные плоскости пересекаются вдоль прямой. Запишем уравнения плоскостей в систему:

Общие уравнения прямой

(4)

L

Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть известны общие уравнения прямой L (4). Как получить канонические уравнения этой прямой?

Сначала найдём координаты точки, лежащей на прямой L. Для этого подставим в систему (4), например, , найдём . Может случиться, что система (4) при не имеет решений, тогда подставим или , найдем недостающие координаты. Можно доказать, что обязательно хотя бы один из вариантов , , позволит найти недостающие координаты точки, принадлежащей обеим плоскостям. Фиксируем точку , .