Lektsia_7_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 7

Исследование СЛАУ.

Совместность системы. Теорема Кронекера – Капелли.

Решение однородных СЛАУ. Фундаментальная система решений.

Структура общего решения системы

1. Совместность системы. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему общего вида:

(1)

Напоминание.

Числа называются коэффициентами системы;

— неизвестные; — свободные члены;

( ) – матрица системы ;

- столбец неизвестных ;

- столбец правых частей.

Запишем систему (1) в матричном виде:

AX = B

Определение 1. Упорядоченная совокупность вещественных чисел называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел в уравнения получаем верные равенства.

Определение 2. Система (1) называется совместной, если имеет хотя бы одно решение.

Определение 3. Система (1) называется определенной, если она имеет ровно одно решение и называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Решить систему (1) значит:

1. Установить совместность;

2. Если система определенная, найти её единственное решение;

3. Если система неопределенная, то описать все множество ее решений.

Теорема ( Кронекера-Капелли ) ( о совместности СЛАУ ).

Система (1) (или ) совместна тогда или только тогда, когда

,

где — расширенная матрица системы:

.

Доказательство.

При доказательстве теоремы используем эквивалентность утверждений:

Система (1) совместна

( ) : AC = B; где C =

( ) :

Последний (n+1)-й столбец матрицы является линейной комбинацией первых n столбцов

_▲

Пример. Исследовать на совместность систему

Решение.

.

Ответ. Система является несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли.

1. Однородные СЛАУ. Условие нетривиальной совместности.

Свойства решений

Запишем однородную СЛАУ:

В матричном виде система имеет вид:

AX = ,

где - нулевой столбец.

Очевидно, что однородная система ( или ) всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое ( тривиальное ) решение :

.

Теорема 1. Однородная система ( или ) нетривиально совместна (то есть имеет нетривиальное решение ) тогда и только тогда, когда

.

Доказательство.

Система ( или ) нетривиально совместна

, причем

Столбцы матрицы A образуют ЛЗС

.

_▲

Следствие 1.

Если в системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система нетривиально совместна.

Доказательство.

Þ Rang A Þ Rang A Þ однородная система в этом случае нетривиальна совместна.

Следствие 2.

Если матрица системы является квадратной ( т.е. s=n ), то система нетривиально совместна тогда и только тогда, когда det A =0.

Теорема 2 ( о свойствах решений однородных СЛАУ ).

Пусть X и Y – решения системы (2). Тогда столбец тоже является решением системы (2) ( и - произвольные вещественные числа ).

Доказательство.

Имеем: . Отсюда

,

следовательно, тоже является решением системы (2).

▲

Определение. Множество всех решений однородной системы (2) называется ядром матрицы А.

Обозначение. Kern A.

Примеры.

1. Имеет ли данная однородная система нетривиальные решения?

Ответ. Да, так как Rang A=2, n=3, Rang A<n.

1. Каково должно быть значение параметра a, чтобы система имела нетривиальные решения?

Ответ. При a = -6 система имеет нетривиальные решения.

1. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ (ФСР).

Теорема о существовании ФСР

Теорема об общем решении однородной системы

Рассмотрим однородную систему

AX = ,

, .

Пусть RangA=r, n>r.

Определение ( Фундаментальной системы решений ). Линейно независимая система из n r решений системы называется фундаментальной системой решений ( ФСР ).

Будем обозначать ФСР: .

Теорема 3 ( о существовании ФСР ).

Пусть Rang A = r < n. Тогда существует ФСР .

Доказательство.

Пусть Rang A=r < n. Не уменьшая общности, считаем, что базисный минор порядка r расположен в верхнем левом углу матрицы А. Если это не так, то переставим уравнения или/и перенумеруем неизвестные.

Назовём переменные базисными переменными, - свободными.

Уравнения, начиная с (r+1) го можно отбросить, так как строки матрицы А, начиная с (r+1) ой, являются линейными комбинациями первых базисных строк, следовательно, уравнения (r+1) е, … , s е являются следствиями первых r уравнений ( назовем первые r уравнений базисными ).

Перепишем систему в виде ( ), при этом оставим только базисные уравнения, а небазисные отбросим:

( )

Присвоим переменным произвольные значения .

Подставим эти значения в правые части уравнений системы ( ). Получим систему из r уравнений относительно r неизвестных . Определитель этой системы не равен 0, так как совпадает с базисным минором матрицы A

(а он не равен 0).

Решаем систему ( ), например, с помощью формул Крамера, находим величины .

Составим столбец:

решения системы ( )

произвольные числа

Используя такой алгоритм, построим (n r) столбцов следующим образом.

1. Фиксируем произвольный определитель D порядка (n r), не равный 0 (например, можно взять определитель единичной матрицы порядка n r ):

1. Следуя алгоритму, описанному выше, строим столбцы так, что

.

Докажем, что построенная система столбцов действительно является ФСР для системы (2). Для этого составим вспомогательную квадратную матрицу D порядка n r :

Ранг матрицы D равен n r , так как существует ненулевой минор порядка n r ( это минор D , содержащий n r нижних строк, он не равен 0 в силу самого построения столбцов ). Следовательно, все столбцы матрицы D являются базисными, следовательно, они составляют линейно независимую систему.

_▲

Пример. Может ли данная система столбцов являться ФСР?

а) б)

Ответ. Нет, так как эти системы столбцов не являются ЛНС.

Теорема 4. ( об общем решении однородной системы ). Общее решение однородной системы может быть записано в виде

(3)

где - общее решение системы ;

- произвольные вещественные постоянные;

- столбцы ФСР.

Доказательство.

Правая часть равенства (3) действительно является решением однородной системы при любых значениях чисел :

Докажем обратное утверждение.

Пусть B - произвольное решение системы , то есть . Докажем что существуют вещественные числа такие, что столбец B можно записать в виде

Пусть

Рассмотрим систему из n r+1 столбцов высоты n r

(4)

( здесь - элементы столбцов ФСР ). В этой системе высота столбцов меньше числа столбцов. Поэтому система столбцов (4) является линейно зависимой системой. Следовательно, существуют числа

(5)

Заметим, что не может быть , так как в этом случае система столбцов окажется линейно зависимой системой, что противоречит тому, что является ФСР .

Рассмотрим столбец K высоты n:

В силу равенства (5)

Но тогда числа тоже равны 0, так как столбец является решением системы ( ), с нулевыми правыми частями, поэтому он равен , так как определитель этой системы не равен 0 в силу того, что он совпадает с базисным минором матрицы A. Отсюда

.

Следовательно,

Но , отсюда

.

Поэтому справедлива формула

,

что и требовалось доказать.

_▲

1. Алгоритм решения однородных СЛАУ

Рассмотрим однородную систему AX = .

(1) Вычисляем Rang A=r. Если n=r ( то есть число неизвестных совпадает с рангом матрицы A ), то система имеет только нулевое решение. Если же n r>0, то переходим к пункту (2).

(2) Фиксируем произвольный определитель порядка n r, не равный 0:

Обычно берут определитель единичной матрицы

.

Ищем в виде

где столбцы определителя D.

Первые r элементов столбцов ищем как решения системы ( ).

(3) Окончательно

где произвольные постоянные.

Пример. Найдем общее решение системы

1. Вычислим ранг матрицы системы:

n r=3 2=1>0.

1. ФСР состоит из одного столбца

.

Третье уравнение отбросим как небазисное. Подставим в систему :

.

Ответ.