Неопределённый интеграл (Интегрирование)

10. Неопределённый интеграл.

10.1. Первообразная функция.

Опр.10.1. Функция называется первообразной для функции на интервале (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала является производной для , т.е. .

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции требуется найти функцию , производная которой равна .

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция , и функция : . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции , рассмотрим

Свойства первообразной.

1. Если функция - первообразная для функции на интервале , то функция , где - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для на этом интервале. (Док-во: ).

2. Если функция - некоторая первообразная для функции на интервале , то любая другая первообразная может быть представлена в виде , где - постоянная на функция.

Док-во. Так как функции и - первообразные для , то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) .

1. Для любой первообразной выполняется равенство .

Из этих свойств следует, что если - некоторая первообразная функции на интервале , то всё множество первообразных функции (т.е. функций, имеющих производную и дифференциал ) на этом интервале описывается выражением , где - произвольная постоянная.

10.2. Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Как следует из изложенного выше, если - некоторая первообразная функции , то

, где - произвольная постоянная. Функцию принято называть подынтегральной функцией, произведение - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).

10.3. Таблица неопределённых интегралов.

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что . Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4:

если , то ; если , то .

Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:

- интеграл Пуассона; , - интегралы Френеля; , , - интегральные синус, косинус, логарифм.

10.4. Простейшие правила интегрирования.

1. ( );

2. ;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .

Примеры применения правил 1,2:

.

и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

1. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то .(Док-во: если , то ). Пример: .

2. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .

(Док-во: если , то ). Пример: .

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то . Пример: .

10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле

(интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь - дифференцируемая монотонная функция.

Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменною на : . Это означает, что . Заменим независимую переменную на функцию : . Следовательно, функция является первообразной для произведения , или .

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и , и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где ) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где ) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель ( ) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций и по своим аргументам)

.

1. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) . Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную : ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:

. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: = .

Рассмотрим (интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ):

. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: .

Поэтому

.

Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:

17. .

15.

.

20.

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .

10.6. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть и - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):

.

Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Примеры:

.

.

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки ( , ), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде :

.