Несобственный интеграл

с несколькими особенностями .

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c(a,b).

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с.Тогда

Y

. f(x)

0 a k c l b X

Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще,если функция f :R имеет на промежутке конечное число особых точек и Т: a=k1

cходится, то

c
ходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину ,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму (2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.

Y

f(x)

0 a=k1 k2………ki…….kn-1 kn=b(+ в данном случае).

Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями .

Пример1.

Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x имеем интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка). Разобьём интервал интегрирования 0;+ так, чтобы на каждом промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной особенности .Например,

(0; 1) и (1;+).

По определению исходный интеграл

С
ходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла

П
ервый из этих интегралов расходится при p  1 , второй - при p  1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится при любом значении p .

Пример 2.

Исследуем сходимость интеграла

Р
ешение.

Подынтегральная функция имеет на на промежутке интегрирования ( 0;+ ) две особые точки x= 0 и (+), следовательно, необходимо смотреть сходимость каждого из интегралов

Для некоторого a  (0; + ).Начнём с простейших оценок .Так как

П
одынтегральная функция неотрицательна , и , в силу признака сравнения

C
ходится абсолютно.

При x имеем

З
начит,по признаку сравнения интеграл и на промежутке (a;+) сходится абсолютно,так как сходится интеграл от модуля функции:

В
ывод : исходный интеграл сходится,причём абсолютно.

Пример 3

Н
а концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Р ассмотрим сначала

П

ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание.

Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2] выглядит примерно так:

Y

1

0 1 2 X

Пример 4.

.

Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале [3;5) функция сравнения имеет вид

Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных замен (следствие из формулы Тейлора)

При x  0

Ln (1+x) ~ x

Sin x ~ x

Tg x ~ x

Arcsin x,arctg x ~ x

Необходимо помнить также,что при x

Cosx, sinx есть ограниченные функции,

Arctg x  /2, (-/2 при x-)

Arcctg x  0 ( при x-)

При x  0

Arccos x, arcctg x  /2

Напоминание:

По правилу Лопиталя

Пример 5.

И
сходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося интегралов,тоже расходится.

Следующие примеры иллюстрируют исследование сходимости с помощью непосредственного вычисления значения несобственного интеграла.

Пример 6.

И
нтеграл сходится - его значение стремится к -4.

Предел

С помощью примера 6 решим пример 7:

Пример 7.

В результате получили сумму двух сходящихся интегралов - следовательно , и исходный интеграл тоже сходится.

Пример 8.

Интеграл расходится.

Пример 9.

Данный интеграл имеет две особенности x0 и x .

Обратите внимание на различные приёмы при исследовании функций при стремлении переменной x к нулю и к бесконечности.

Значит , сходится исходный интеграл , как сумма двух сходящихся .