nintegral (Неопределенный интеграл)
Описание файла
Файл "nintegral" внутри архива находится в папке "Интегралы". Документ из архива "Неопределенный интеграл", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "nintegral"
Текст из документа "nintegral"
Несобственный интеграл.
Определение: Пусть.
собственная или правая несобственная точка числовой прямой
Функция f: [a;)R интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b] [a, ).
Тогда, если существует (1):
Т
о его величина обозначается
(2)
и
называется несобственным интегралом функции f по промежутку [a, ).
Введем обозначение : f R^ - функция интегрируема по Риману в несобственном смысле по промежутку .
Если предел (1) существует и равен конечному числу, то говорят,что данный интеграл сходится. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то говорят,что данный интеграл расходится. Обычный интеграл Римана (3)
называется собственным интегралом.Его значение
соответствует величине площади криволинейной трапеции (см. рисунок 1):
Y f(x)
a b X
Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [a,b) (b может быть бесконечным), то несобственный интеграл (4)
Р н f(x) f(x) a + X - a X рис.,поясняющий интеграл (5) рис.,поясняющий интеграл (6). Интеграл г А Y Y f(x) f(x) 0 a b X 0 a b X рис.,поясняющий интеграл (7) рис.,поясняющий интеграл (8) Если же функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c(a,b). При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с.Тогда Y . f(x) 0 a k c l b X Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2) Вообще,если функция f :R имеет на промежутке конечное число особых точек и Т: a=k1 cходится, то (10) c Y f(x) 0 a=k1 k2………ki…….kn-1 kn=b(+ в данном случае). Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями (9),(10). Рассмотрим некоторые примеры: Пример 1 П Y 1 0 1 X При мер 2 Н Y 1 + + + b? b? X 0 - 2 - - b? b? () Пример 3 интеграл расходится.А в этом примере площадь под графиком 1/x имеет бесконечно большую величину.При этом(обратите внимание!!!-частая ошибка студентов) 1/x0 при x. Для сходимости несобственного интеграла при x необходимо,но не достаточно стремление ^ Пример 4 Н Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов Р ассмотрим сначала П Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2] выглядит примерно так(рисунок 5) Y 1 0 1 2 X ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. 1)Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f непрерывна на [a,b), и F- первообразная f.Тогда З 2)Линейность несобственного интеграла. Если несобственные интегралы С 3)Интегрирование по частям. Если функции u=u(x),v=v(x) непрерывно дифференцируемы на промежутке [a,b),то П и 4)Замена переменной в несобственном интеграле. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),tt2;тогда П Пример 6: Монотонность несобственного интеграла. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке и f(x) Y Y g(x) g(x) f(x) f(x) 0 X 0 a b X Следствие: fR^;|f|R^; Y |f| + + + + 0 a - - f В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов.Однако нельзя автоматически,без анализа,переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы.Например,если функции f,g интегрируемы по Риману на в собственном смысле,то их произведение fg тоже интегрируемо.Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда: Пример7: f=g=1/x на промежутке(0,1] И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ . В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы,значение которых точно вычислить затруднительно,например (8.1) и ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ. Основной признак для исследования сходимости несобтвенных интегралов от знакопостоянных функций.Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения,несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить,и дать заключение о сходимости исходного интеграла ,используя следующие утверждения: П С Д П Е Теперь исследуем на сходимость некоторые функции: Пример 8: Следствие. Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале,и либо существует предел Теперь посмотрим,как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]: В И С Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных замен (следствие из формулы Тейлора) При x0 Ln(1+x)~x Sinx~x Tgx~x Arcsinx,arctgx~x Необходимо помнить также,что при x Cosx,sinx есть ограниченные функции, arctgx/2,(-/2 при x-) arcctgx0( при x-) При x0 Arccosx,arcctgx/2 Вернёмся к примеру 8.1 Напоминание По правилу Лопиталя Пример 11 И ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ-ДИРИХЛЕ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. .Функции f(x) и g(x):[a;b)R ,удовлетворяют условиям: а) g(x) локально монотонна при xb и ограничена на [a;b) 2)Для функций f(x) и g(x),удовлетворяющих условиям на интервале [a;b) a)g(x) локально монотонна при xb,g(x)0 В заключении рассмотрим несобственные интегралы от знакопеременных функций. Определение:Интеграл от функции f(x) называется абсолютно сходящимся,если сходится интеграл Е При исследовании на абсолютную и условную сходимость часто пользуются признаками Абеля-Дирихле.(2) Пример 13 15
авен площади неограниченного открытого множества G={(x,y):a
азовем несобственным интегралом 1 рода, аналогично определяется интеграл (6):
де функция неограниченна в точке b ,но интегрируема по Риману на любом отрезке [a,k][a,b) назовем несобственным интегралом второго рода.(7)
налогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале (a,b].(8)
ходится. Если хотя бы один из (9) расходится,то и весь (10) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (10) означает,что данный интеграл (9) либо имеет бесконечную величину (см. пример 3,4),либо не имеет конкретного значения (см. пример 2),тем самым обращая всю сумму (10) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.
о определению интеграл сходится и его величина равна /4.То есть у площади бесконечной криволинейной трапеции под графиком подынтегральной функции существует предел.(см. рисунок 3):
е существует при b --- интеграл расходится.На этом примере хорошо видна разница понятий «предел не существует» и «предел равен бесконечности» (пример 3).Смотрим на рисунок: в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от 0 до 2,но т.к. b не определено конкретно,то не существует и предела(рисунок 4)
а концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.
ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.
десь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f(x).
ходятся,то для любых чисел m,n сходятся несобственный интеграл
ричем,если любые два из выражений
меют смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):
ри этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся.Может случиться,что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным,и наоборот:
нтеграл расходится,функция fg=1/x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]
тогда перед студентом ставится задача :исследовать несобственный интеграл на сходимость,не вычисляя его значения.Для этого необходимо применять следующие методы:
усть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)
праведливость утверждения можно осмыслить ,посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить.,что из сходимости
ля применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций.Основными являются степенные функции вида
осмотрим,как ведут себя такие функции на промежутке [a,) ,а также попробуем применить с их использованием признак сравнения.
сли p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a,) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)
случае,если подынтегральная функция имеет особую точку x=b ,необходимо искать функцию сравнения в виде
сследование которой при замене переменной y=x-b приведёт нас к тоько что рассмотренному случаю на интервале (0;a]
ледовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале [3;5) функция сравнения имеет вид
сходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося интегралов,тоже расходится.
сли интеграл сходится абсолютно,то он сходится.Если интеграл от |f(x)| расходится,а от f(x) –сходится,то говорят,что несобственный интеграл сходится условно.Нетрудно понять,что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает с обычной.