Статистика (3сем. лекция №5) (Лекции Облаковой )

Облакова Т.В. Лекция №5 (статистика) 2017 (Э2-31,2, Э4-32,3, Э10-31,2)

Лекция №5. Первоначальная обработка статистических данных.

Определение. Все значения, которые может принимать случайная величина , называют выборочным пространством, или генеральной совокупностью.

Выборкой объема называют возможных значений случайной величины: - реализации случайной величины.

Определение. Статистикой, называется любая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения.

Определение. Если выборку упорядочить по возрастанию, то получим вариационный ряд: ;

при этом - -ая порядковая статистика (функция от выборки)

Примеры статистик.

1) - выборочное среднее

2) – выборочная дисперсия

3) - размах выборки

Определение 4. Выборочной функцией распределения называется

, , ,

То есть , если ровно наблюденных значений меньше .

- статистика (при каждом ), то есть функция от выборки

Пример. Рассмотрим выборку: 1,3,4,6,3,1,7,2,3,7

Строим вариационный ряд: статистический ряд :

	1	2	3	4	6	7
Относительные Частоты
Относительные накопленные частоты

- неповторяющиеся значения;

- количество элементов выборки, равных ;

Находим эмпирическую функцию распределения:

Свойства эмпирической функции распределения.

1.

2. ,

3. не убывает

4. непрерывна слева

Теорема 1. Если взята независимая выборка объема из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения то дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

,

Доказательство. При каждом индикаторы – независимые случайные величины с законом распределения:

Следовательно, –распределена по закону Бернулли, то есть

.

Следствия.

1.

2.

Теорема 2 (Гливенко-Кантелли (б/д)) Если – независимая выборка неограниченного объема, то при с вероятностью 1.

Группировка выборки

Определение. Группированной выборкой называется выборка, разбитая на интервалы следующим образом:

Здесь , , , - количество элементов выборки, попадающих в интервал , при этом

Для группированной выборки также находят характеристики

- выборочное среднее,

где - середина -го интервала

- выборочная дисперсия

Для группированной выборки также можно ввести выборочную функцию распределения:

Определение. Гистограммой относительных частот называется совокупность прямоугольников со сторонами и .

При этом площадь каждого прямоугольника равна

- статистическая вероятность принять значение в интервале .

Суммарная площадь фигуры естественно равна 1

Таким образом, для абсолютно непрерывных случайных величин гистограмма служит приближением графика плотности вероятностей

Метод моментов.

Пусть –неизвестный параметр для известного закона распределения.

Вычисляются эмпирических и теоретических моментов и решается система из уравнений с неизвестными.

Примеры. 1. Пуассоновский закон с неизвестным параметром .

Тогда – математическое ожидание (первый теоретический момент)

- выборочное среднее (первый эмпирический момент)

Следовательно, – оценка параметра , построенная по выборке

2. Пусть –выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами и .

Теоретические моменты: ,

Приравниваем к эмпирическим моментам и находим оценки:

Задача 1. Первоначальная обработка статистических данных

По данной выборке

1. Найдите крайние члены вариационного ряда и размах выборки

2. Осуществите группировку данных (количество интервалов находим по правилу Стерджеса)

3. По сгруппированным данным постройте гистограмму относительных частот

4. Найдите эмпирическую функцию распределения и постройте ее график

5. Вычислите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Демонстрационный вариант:

1.913	2.875	3.302	2.338	3.967	0.702	0.655	2.038	0.342	0.331
8.936	7.5	0.86	1.763	3.297	2.003	3.036	6.432	3.267	2.78
0.679	2.7	0.927	3.094	2.928	2.274	4.5	3.229	5.441	2.86
8.084	4.336	3.673	1.261	1.217	0.383	6.351	0.561	0.276	3.415
2.626	1.753	2.088	0.552	4.465	5.842	6.888	1.189	0.454	5.123
3.136	0.25	3.536	0.369	0.859	8.418	3.623	2.261	2.289	2.373
3.884	3.107	0.02	0.354	6.632	4.586	1.594	2.683	10.39	0.648
0.471	10.102	0.094	0.192	0.471	6.658	4.263	0.049	4.102	0.818
0.617	1.39	1.527	5.405	2.492	5.335	0.521	1.716	0.489	0.228
2.839	2.647	1.243	5.501	1.115	7.52	4.539	1.494	0.865	0.869