Лекция №4-2018 (3сем) (Лекции Облаковой )

Облакова Т.В. Лекции ТВиМС (3 семестр) 2018-19

Лекция №4

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Теорема 1 (неравенства Чебышева). Для любого имеют место неравенства:

Доказательство.

Второе неравенство получается из первого подстановкой вместо :

Следствие. .

Теорема 2 (закон больших чисел Чебышева). Пусть - независимые случайные величины и существует такая константа , что все ,

Тогда при любом

Доказательство. Если , то

. Следовательно,

Теорема 3. Если случайные величины - независимы, одинаково распределены и имеют конечные то

Следствие.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа для схемы Бернулли является частным случаем ЦПТ. В самом деле, число успехов в последовательности из испытанй можно рассматривать как сумму , где , если испытание закончилось успехом, и где , если в испытании произошла неудача.

При этом .

Иллюстрация.

Пусть случайные величины - независимы и равномерно распределены на . При этом

Рассмотрим последовательность случайных величин

Тогда их плотности имеют вид

,

поскольку

При

При

При

При

При

Рассмотрим также случайные величины

Пример 3. Складываются 300 независимых СВ , равномерно распределенных на отрезке . Найдите а) приближенное выражение плотности СВ ; б) вероятность события .

Решение.

По ЦПТ приближенный закон распределения СВ стандартный нормальный . Следовательно, то есть .

Далее, .

Основные распределения математической статистики

Отступление. Свойства гамма-функции ,

В частности,

1. Хи-квадрат распределение с степенями свободы

Пусть независимы и распределены по стандартному нормальному закону. Тогда случайная величина распределена по закону Хи-квадрат с степенями свободы, её плотность может быть найдена по индукции.

Замечание. В частности, – показательный закон с параметром

2. Распределение Стьюдента

Этот закон получится, если из независимых и распределенных по стандартному нормальному закону случайных величин , , составить случайную величину . Ее плотность также можно найти с помощью описанного выше алгоритма: .

3. Распределение Фишера-Снедекора получится, если из данных независимых и распределенных по стандартному нормальному закону случайных величин , , и , составить СВ . Приведем плотность распределения этой случайной величины

6