Конспект лекций-2018 (лекции 1-2) (Лекции Облаковой )

Облакова Т.В. Лекции ТВиМС (3 семестр) 2016-17

Лекция 1. Абсолютно непрерывная случайная величина. Закон распределения и функция распределения. Свойства функции распределения. Примеры: равномерный, нормальный, экспоненциальный законы распределения. Функции от случайных величин. Плотность распределения . Пример: закон распределения , где .

Абсолютно непрерывная случайная величина принимает значения в подмножестве множества действительных чисел, и ее закон распределения задается плотностью вероятностей так, что вероятности

как интеграл от по множеству :

При этом от функции плотности требуется выполнение естественных свойств:

1. ,

2. .

Определение. Функцией распределения случайной величиной называют .

Свойства .

1. определена для всех значений , непрерывна слева и не убывает.

2. , причем , .

3. Функция распределения однозначно определяет закон распределения случайной величины и однозначно определяется законом распределения:

Определения числовых характеристик случайных величин для удобства дадим в виде таблицы.

Пример 1.1. Показательный закон распределения имеет плотность

, – параметр. Эта случайная величина используется для моделирования времени ожидания в системе массового обслуживания, времени безотказной работы электроламп и т.п.

Найдем функцию распределения показательного закона

По определению . График функции приведен на рисунке для .

Найдем характеристики:

Пример 1.2. Нормальный (гауссовский) закон распределения имеет плотность , , – параметры.

Функция распределения стандартной гауссовской случайной величины не является элементарной функцией, для нее введено специальное обозначение

, составлены таблицы значений, она встроена во все математические и статистические пакеты программ.

Функция распределения гауссовской случайной величины выражается через :

.

Характеристики:

Пример 1.3. Равномерный на отрезке закон распределения имеет плотность: .

Функция распределения имеет вид: .

Характеристики:

Теорема. Если случайная величина имеет плотность распределения , а , где монотонная дифференцируемая (на множестве значений ) функция, то плотность случайной величины может быть вычислена по формуле

Пример 1.4. Найдите закон распределения случайной величины , если случайная величина распределена по закону Парето с параметрами :

.

Согласно теореме, для монотонно возрастающей функции (Модуль опускаем, поскольку для монотонно возрастающей функции обратная функция также монотонно возрастает, то есть ее производная неотрицательна).

Находим обратную функцию: ,

затем ее производную: .

Пересчитываем плотность: .

Таким образом, СВ распределена по показательному закону с параметром .

Замечание. Если функция не является монотонной, для пересчета плотности используем следующий алгоритм:

1. Выражаем через ,

2. Находим , дифференцируя выражение для

Пример 1.5. Найдем плотность СВ , если - стандартная гауссовская случайная величина.

Поскольку может принимать только неотрицательные значения, то на . Для применяем алгоритм:

Получаем:

– закон .

Лекция 2. Случайные вектора. Независимые случайные величины.

Для изучения вопроса о зависимости и независимости случайных величин их рассматривают на одном вероятностном пространстве с заданной на нем системой ( - алгеброй) подмножеств , называемых событиями.

Определение 1. Случайным вектором называют числовую вектор-функцию, определенную на таким образом, что все множества вида содержатся в .

Абсолютно непрерывные случайные вектора задаются функцией плотности вероятностей , удовлетворяющей стандартным требованиям неотрицательности и нормированности . Вероятность принятия случайным вектором значения во множестве при этом полагают равной .

Для случайного вектора также можно определить функцию распределения:

, где .

Функция распределения дискретного двумерного случайного вектора может быть найдена с помощью совместных вероятностей

,

в непрерывном случае через плотность - .

Функция распределения обладает следующими свойствами (для :

где и - функции распределения составляющих и соответственно.
4) – неубывающая функция по каждому из своих аргументов.

5) непрерывна слева по каждому из своих аргументов;

6) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат может быть вычислена по формуле:

;

7) В точках непрерывности существует .

Теорема 1. Совместная плотность распределения однозначно определяет плотности распределения компонент:

,

,

где и плотности распределения компонент случайного вектора .

Доказательство.

.

Пример. Найдем законы распределения компонент случайного вектора, равномерно распределенного в круге радиуса с центром в начале координат.

Плотность равномерно распределения в круге имеет вид:

. Найдем плотности компоненты :
Определения 2.

Математическим ожиданием или центром рассеивания случайного вектора называется неслучайный вектор .

Дисперсией случайного вектора называется неслучайный вектор .

Величина называется ковариацией СВ и .

Ковариацию также можно вычислить по формуле: .

Формулы для вычисления основных числовых характеристик:

Пример 2. Найдем ковариацию компонент случайного вектора из примера 1.

Находим .

Откуда , а также .

Вычислим , следовательно, .

Независимость случайных величин.

Определение 3. Случайные величины и называются зависимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств и , зависимы хотя бы при одной паре значений и .

Определение 4. Случайные величины и называются независимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств и , независимы при любых значениях и .

Теорема 2. Для того, чтобы СВ и были независимы, необходимо и достаточно, чтобы ФР системы была равна произведению ФР составляющих

.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность докажем только для множеств вида , .

=

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин, образующих систему является равенство

.

Доказательство состоит в вычислении второй смешанной производной от формулы .

Пример 3. Для рассмотренного примера и некоррелированы, но поскольку , то и зависимы.

Пример 4. В классической модели идеального газа скорость молекулы рассматривают как нормально распределенный случайный вектор с одинаково распределенными независимыми компонентами .

Тогда абсолютная величина скорости .

Достаточно очевидно, что закон распределения вектора должен однозначно определять закон распределения . Возникает вопрос, как найти этот закон распределения. Поскольку компоненты независимы,

Далее воспользуемся определением ФР:

.

Заметим, что при функция , очевидно, обращается в нуль. При вычислим тройной интеграл, перейдя в сферическую систему координат.

Д ифференцируя найденную функцию по переменной , находим плотность распределения случайной величины :

.

Найденный закон распределения называется законом Максвелла. График плотности приведен на рисунке.

4