21-24(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет 21 1.Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Определение 1. (по Гейне)Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке (или при ) если для последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функций сходится А.

Определение 2. (по Коши)Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство .

2. Точка х₀ € Х – называется точкой локального максимума функции f, если  < 0 : x€ U (x₀) ∩ Х выполняется f(x₀) > f(x).

Точка х₀ € Х называется точкой экстремума функции , если она является точкой либо локального минимума, либо локального максимума.

1 достаточный признак экстремума

Если в некоторой окрестности X критической точкой выполняется условие при и при (A) то в т. функция имеет max. Если же выполняется условие при и при (B) то в т. функция имеет min.

Билет 22 1. Если существует при n  ∞, lim {an} = A и lim {bn} = B , A€ R и B€R то:

аn A

lim ——= — (если B ≠ 0)

bn B

lim (an* bn) = A * B

lim (an + bn)= A + B

Лемма:

lim {an} = A€ R  {an-A}- б.м.

Доказательство для произведения:

{an* bn -A * B }= {an* bn-an*B- bn*A- A*B}= {an*(bn-B) + B *(an-А)} – б.м. 

lim an* bn = A * B.

2. Точка х₀ € Х – называется точкой локального максимума функции f, если  < 0 : € U (x₀) ∩ Х выполняется f(x₀) > f(x).

2-ой достаточный признак экстремума) :

Если функция  (x₀ ) = 0 , т.е. x₀ - стационарная точка функции (x) и (x₀)<0, то в точке x₀ функция (x) имеет max; если же (x₀)>0 , то в точке x₀ функция (x) имеет min.

Запишем, для функции (x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что  (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

Билет 23 1.Теорема о пределе промежуточной функции.

Если при x  x₀ limf(x)=limh(x)=A€R

И сущ. δ>0: x = Uoδ(x0) вып. f(x)≤g(x)≤ h(x) (1) , то сущ. limg(x)=A

Док-во:

Рассмотрим последовательность {Xn} по Гейне, т.к. сущ. предел F(x)=A, то по определению предела функции по Гейне: limf{xn}=A, n ∞

Теорема о пределе 3-х функций: если сущ. lim{an} =lim{cn}, n  ∞, то сущ. N: n ≥n вып.

an≤bn≤cn, то сущ. lim{bn}=A .

Т.е. у нас две последовательности {f(xn) и {h(xn)}. По условию (1) вып. только в U⁰x₀ неравенство для последовательностей f(xn) g(xn) h(xn) начиная с некоторого N вып. условие теоремы. Зн. Существует lim{gn}=A

Теперь снова по опр. Гейне: limg(x)=A x  x₀

2. Рассказать о нахождении первой и второй производной параметрически заданной функции.

Билет 24 1.Эквивалентные б.м.

Рассмотрим: A=lim(α(x)/ β(x)) при x* , если А = 1, то α(x) и β(x) называются эквивалентными б.м.

Для б.б. – аналогично.

Критерий эквивалентности:

Для того, чтобы две б.м. при одном и том же стремлении x были эквивалентны необходимо и достаточно, чтобы их разность была б.м. более высокого порядка, чем каждая из них.

Обратно , т.е.

Применяя теорему 1 видим, что соотношение α – β =о(β) так же имеет место.

2. Выпуклость Графика. Определение:

Говорят, что график функции выпуклый вверх (resp. вниз) на промежутке Х, если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику на промежутке Х

(Достаточное условие выпуклости).

Если функция (x) имеет на промежутке Х вторую производную и (x)  0 ( resp. x0) на , то график

функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Рассмотрим случай (x)  0 для  x 

пусть т. с – произвольная точка, принадлежащая Х. Требуется доказать график функции х лежит не ниже касательной , проходящей через т. М(с;  (с)).

Уравнение касательной Т : =ссх-с 

Разложим функцию у=х в окрестности т. с по формуле Тейлора с n=1:

Вычитая (A) из (B) имеем: y-Y =

Т.к. на Х, то правая часть последнего равенства больше или равно 0, следовательно y Y для  x , что и доказывает, что график функции лежит не иниже касательной Т всюду на промежутке Х Аналогично рассматриваем случай x0. Q. e. D.

4*x+(5*arctg(2-x))/3 (билет 23)