11-14(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет 11. 1. Дать определение точки разрыва функции. Привести классификацию точек разрыва. Привести примеры.

Определение 1.

x=a называется точкой разрыва функции y=f(x) если не имеет место равенство

f(a-0)=f(a+0) = f(a)

Пусть точка а – точка разрыва функции f(x).

Если существуют односторонние пределы f(a-0), f(a+0) и они конечны, то точка а называется Точкой разрыва первого рода.

Если при этом f(a-0)=f(a+0), т.е. в т. а функция имеет предел, то точка а называется точкой устранимого разрыва. В этом случае разрыв в точке а может быть устранен, если положить f(a)=lim f(x) ghb xa, такая процедура наз-ся продолжением функции по непрерывности, преобразованная таким образом функция является непрерывной в точке а.

Определение 3.

x=a называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если точка не является точкой разрыва 1-го рода, другими словами в точке разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов функции f(a+0) или f(a-0) не существует или бесконечен.

Пример 1.Рассмотрим функцию .

Функция имеет разрыв 2 рода в точке x=0. y(+0)=+ y(-0)=0

2. Доказать теоремы Лагранжа и Коши.

Коши:

Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале (a,b); //////////3) тогда .

Доказательство: Вводим вспомогательную функцию ….. . Эта функция удовлетворяет всем условиям

Билет 12 1. Дать определение функции, непрерывной на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Определение 2.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если: lim f(x)=f(x₀) при xx₀ (2).

Это определение предъявляет функции f(x) следующие требования:

1. функция f(x) должна быть определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности.

2. Функция f(x) должна иметь в точке x₀ предел.

3. Этот предел должен совпадать со значением функции в точке x₀.

Теорема1.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. (Вейерштрасса)

Среди значений непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) существует наименьшее (m) и наибольшее (М)

a<=x<=b a<=x<=b

Теорема 3.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A и f(b)=B (и A не равно B), тогда найдется хотя бы хотя бы одна точка для любого значения С между A и B , для которой . Иными словами функция f(x) принимает любое промежуточное значение между двумя данными. В частности если А и В – числа противоположных знаков, то полагая С=0, получим f(с)=0 (теорема об обращении в 0 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков).

Другое следствие теоремы 3.

Непрерывная на отрезке[a,b] функция принимает по крайней мере один раз любое промежуточное значение между m и М

Теорема 4.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и строго возрастает(строго убывает) на отрезке [a,b] то обратная ей функция x=g(x), существует, непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [m,M]

Билет 11 теоремы Ролля: 1) F(x) непрерывна на [a,b]; 2) F(x) дифференцируема на (a,b); 3) F(a)=F(b)=0.

(по теор. Ролля). . .

Лагранжа:

Пусть функция у=F(x):

1. Определена и непрерывна на отрезке[a;b].

2. Дифференцируема на интервале(a;b).

Тогда существует E из интервала (a;b):f(b)-f(a)=f ’(E)*(b-a).

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

1. Она непрерывна на [a;b].

2. дифференцируема на (a;b).

Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из (a;b):F’(E)=0

Билет 12 2. Сформулировать правило Лопиталя-Бернулли для раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞] и доказать его для неопределенностей вида [0/0].

Билет 13 1.Вывести формулу lim (1 + 1/x)^x=e (второй замечательный предел), пользуясь формулой lim(1+1/n)^n для n э N при x,n→∞.

Теорема 1. (о замене переменных в пределе)

Пусть:

1. функция f(x) переменной х преобразуется с помощью подстановки в функцию f(z) переменной z получается f(x)= f(z)

2. (конечный предел) причем вблизи точки x₀

3. тогда

Доказательство по Гейне:

Рассмотрим произвольную последовательность .

Положим , тогда по Гейне последовательность сходится к , причем следовательно снова по Гейне с учетом , имеем что последовательно сходится к А, т.е.

Примечание:

В доказанной теореме функция y=f(x) представлена как сложная функция переменной х посредством промежуточной переменой поэтому доказанную теорему можно понимать как теорему о пределе сложной функции.

Полагая x=1/n и прменяя теорему о замене переменной в пределе получаем lim (1 + 1/x)^x=e.

Билет 14 1. Дать определение предела последовательности и доказать теорему о его единственности.

Билет 13 2. Рассказать о правилах вычисления дифференциалов и доказать инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменной.

Инвариантность формы первого дифференциала. (следует из формулы производной сложной функции).

; , где Х – независимая переменная.

Билет 14 2.Дать определение дифференцируемой функции и доказать ее непрерывность

Дифференцируемость функции в точке.

Определение:

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x₀).

Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х₀

Док-во:

q.e.d.

Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно.

Достаточно рассмотреть у = |x|.

Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к.

Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.

Билет 12

y = 2x + 4arctg(1-x)

11 билет

14 билет

13 билет

……