SEMINAR3 (Семинары)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОЙ ПОДГОТОВКИ

Кафедра войск ПВО

«УТВЕРЖДАЮ»

Начальник военной кафедры Войск ПВО

полковник И. Калашников

«_____» _______________ 199___г.

Методическая разработка

для проведения занятий по разделу:

«Математические методы моделирования исследований боевых действий войск и анализа сложных систем (моделей операций)»

профиль ВУС 530700

ТЕМА: 16 Методы теории игр и их применение к исследованию эффективности боевых действий

ЗАНЯТИЕ: 3¸6

Обсуждена на заседании цикла 24

«__» __________ 1997 г.

ПРОТОКОЛ ___________________

Москва 1997 г.

Учебная и воспитательная цели:

Изучить и дать практику в применении аппарата теории игр к задачам исследования эффективности боевой деятельности войск. Показать, что правильное применение полученных знаний позволит военному инженеру успешно решать поставленные боевые задачи. Воспитывать у студентов строевую подтянутость, вырабатывать у них умение и навыки в проведении занятий с подчиненными.

Организационно-методические указания:

Материал данной темы изучается на лекциях и групповых занятиях.

В ходе лекций студентами изучаются основные понятия и классификация игр, прямоугольные игры с нулевой суммой и игры без седловых точек. Определяется решение игры в смешанных стратегиях и доказывается основная теорема прямоугольных игр, даются свойства оптимальных стратегий.

В ходе групповых занятий студенты должны усвоить и получить практику применения основных методов решения игровых задач в смешанных стратегиях.

На первых двух занятиях рассматриваются методы решения элементарных игр ( , , ) графоаналитическими методами, а также решение игровых задач методом последовательного приближения.

Последующие 4 часа отводятся на изучение метода решения игровых задач путем сведения их к задаче линейного программирования.

Занятия 3,4. Решение игровых задач.

Время: 4 часа.

Учебная и воспитательная цели:

Дать практику в применении метода последовательных вычислений для решения игровых задач. Воспитывать у студентов строевую подтянутость, вырабатывать у них методические и командные навыки.

Методика проведения занятия:

Изучение материала данных занятий должно начинаться с проверки усвоения студентами теоретических знаний, полученных в ходе лекций. Эта проверка может быть осуществлена путем постановки следующих контрольных вопросов:

1. Понятие прямоугольной игры с нулевой суммой;

2. Решение прямоугольных игр в смешанных стратегиях;

3. Свойство оптимального решения игровой задачи;

4. Принцип минимакса.

Затем необходимо приступить к изложения материала первого вопроса, дать содержательное описание задачи и ее математическую формулировку. Обратить внимание студентов на то, что основная теорема теории прямоугольных игр была доказана в ходе лекций.

Второй учебный вопрос посвящен предварительным действиям при решении игровых задач. Следует обратить внимание на необходимость выполнение каждого из этих действий, существенно упрощающих полученные решения.

В третьем учебном вопросе дается аналитический метод решения игр , а также графоаналитический метод решения игр и . При этом следует обратить внимание на использование диаграмм (графиков) для сведения указанных игровых задач к игре .

В ходе изложения материала данного учебного вопроса рекомендуется использовать слайды, иллюстрирующие данные методы решения.

Четвертый учебный вопрос посвящен методу последовательных приближений. Рассматривается общая схема метода, на числовом примере детально разбирается алгоритм решения задачи. При этом, в целях улучшения усвоения материала, необходимо высветить соответствующий слайд, на котором отражена указанная последовательность вычислений.

В ходе занятий обращать внимание на правильность выполнения студентами строевых приемов, а также на последовательность изложения материала при ответах на поставленные преподавателем вопросы.

В качестве задания на самостоятельную работу необходимо дать студентам следующую задачу:

Пример № 1

Синие обороняются и могут занять любые две из четырех позиций одинаковым количеством боевых единиц. Красные из-за ограниченности боевых средств могут обстрелять три из четырех позиций синих. Обстрелянные единицы Синих на -й позиции поражаются с вероятностью : .

Приняв в качестве показателя эффективности операции среднее число пораженных единиц Синих, определить оптимальные стратегии сторон. Для Синих - какие позиции занять, для Красных - какие позиции подвергнуть обстрелу.

В нормальной форме игра задается платежной матрицей:

Краткое содержание занятий 3,4.

Учебный вопрос № 1.

Постановка задачи об оптимальной пропорции применения различных типов средств в полосе обороны.

На вооружении ПВО имеется типов зенитных комплексов: .

Противник располагает типами СВН: .

Вероятность поражения -го типа самолета комплексом -го типа задается матрицей:

Требуется определить оптимальную пропорцию применения различных типов комплексов в полосе обороны ПВО.

Математическая формулировка задачи прямоугольной игры с нулевой суммой.

Задана платежная матрица

Найти такие

чтобы для любых

выполнялось условие

, где

- средний выигрыш.

- цена игры.

- оптимальные смешанные стратегии.

Если и , а и , то и - чистые стратегии.

Основная теорема прямоугольных игр утверждает, что всегда существуют такие и , что , где

- нижняя цена игры

- верхняя цена игры.

Учебный вопрос № 2.

Предварительные действия при решении игровых задач.

Приступая к решению игр во всех случаях следует придерживаться предварительной процедуры, выполнение которой может предотвратить лишнюю трату времени и усилий.

Предварительная процедура состоит из следующих этапов:

1) Преобразование исходной матрицы в матрицу с положительными элементами.

Определяется наибольший по модулю элемент исходной матрицы :

, где

и находится преобразованная матрица .

В этом случае цена игры увеличится на , оптимальные стратегии не изменятся.

2) Проверка наличия доминирующих стратегий и понижение порядка игры.

Стратегии сторон сравниваются между собой поэлементно. Если одна из стратегий всеми своими элементами хуже или равна какой-либо стратегии, то она исключается из рассмотрения. Порядок игры при этом понижается.

Для красных -я стратегия хуже -й, если

Для красных -я стратегия хуже -й, если

3) Проверка на седловую точку.

Если платежная матрица содержит элемент , удовлетворяющий условию , то пара чистых стратегий и элемент есть искомое.

Исследования показали что:

Вероятность того, что прямоугольная игра содержит седловую точку, резко уменьшается с возрастанием размерности матрицы. Однако, для игры с произвольной размерностью платежной матрицы решение следует начинать с проверки на наличие седловой точки.

Пример

вычеркиваем

Учебный вопрос № 3.

Некоторые методы решения игр.

а) Графический метод решения игр и