1-5(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

1Билет 1. 1. Локально огр при - ограничена в окр-ти

Локальная ограниченность функции, имеющий предел.

Если предел при равняется А, то найдется окрестность , во ………всех точках которых функция ограниченна.

Положим Из условия теоремы следует существование окрестности: ……… . Следовательно: Отсюда для ……….указанных х что и означает ограниченность ……….. в .

2. Производная функции в точке Производная даёт ……….мгновенную или истинную скорость движения точки в момент времени . ………..

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой ……………к графику функции в точке .

Билет 2Предел функции в точке

Определение 1. (по Гейне)Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке (или при ) если для последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функций сходится А.

Определение 2. (по Коши)Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство .

Определение 3. (в кванторах)

Теорема 1. (единственность предела).

Если то .

Допустим противное, т.е. . Выберем , так, что бы окрестности т. , не пересекались, т.е. т.к. , то

Билет 3 Предел функции в точке (по Коши)Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство . Значение функции будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к .Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми и , найдется интервал , такой что все точки графика с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы.

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой - окрестности точки - (окрестность точки радиуса ).

. ( - показывает что ).

Билет 2 т.е. аналогично то т.е. .Рассмотрим Тогда, и и , что невозможно, т.к. указанные окрестности не пересекаются.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке .Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид

для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T) Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).уравнение касательной имеет вид:

Билет 3 2-ой достаточный признак экстремума :

Если функция  (x₀ ) = 0 , т.е. x₀ - стационарная точка функции (x) и ……(x₀)<0, то в точке x₀ функция (x) имеет max; если же (x₀)>0 , то в ……точке x₀ функция (x) имеет min.

Запишем, для функции (x) в окрестности точки x₀ локальную формулу …….Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что  (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как ……угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили ……приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-……ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

Билет 4

Билет 5О предельном переходе в неравенств.

Если в некоторой окрестности точки x0 (кроме быть может самой этой точки) ….выполняется условие и данные функции имеют в точке x0 ….пределы, то .

….Введем функцию . Ясно, что в окрестности ...т. X0. Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

2. Односторонняя произваодня. Если f(x) определена в (х0-∂,х0), то лев. ….производной в т. х0 наз.f-‘(x0)= .Если f(x) определена ….в (х0,х0+∂), то правосторонней производной в точке х0 называется

….f+’(x0)= .Если в точке х0 выполняется =∞, то ….данная ф-ция имеет в точке х0 бесконечную производную.

Теорема: Для того, чтобы ф-ция f(x) имела в точке х0 конечную производную необходимо, ...чтобы она имела односторонние конечные производные, равные между собой.

Билет 4 Точка М₀ ( ; ) называется точкой перегиба графика функции у=х, если в т. график имеет касательную Т и существует такая окрестность т . в которой слева и справа от т. график имеет разные направления выпуклости т.е. при переходе через т. М₀, график переходит с одной стороны касательной Т на другую.

(Достаточное условие точки перегиба)

Пусть функция х имеет на некоторой окрестности т.x0, тогда, если в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от т. X0,то график функции у=х имеет перегиб в т. М₀ (x0;f(x0))

Док-во:

Т.к. имеет разные знаки слева и справа от x0, то график функции у=х имеет слева и справа разный характер выпуклости, следовательно т. М₀ (x0;f(x0)) –точка перегиба графика. Q. e. d.

Доказанная теорема остаётся верной, если х имеет в некоторой окрестности т. X0, кроме самой точки x0 и существует касательная в М₀(x0;f(x0))