1Билет 1. 1. Локально огр при - ограничена в окр-ти Локальная ограниченность функции, имеющий предел. Если предел при равняется А, то найдется окрестность , во ………всех точках которых функция ограниченна. Положим Из условия теоремы следует существование окрестности: ……… . Следовательно: Отсюда для ……….указанных х что и означает ограниченность ……….. в . 2. Производная функции в точке Производная даёт ……….мгновенную или истинную скорость движения точки в момент времени . ……….. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой ……………к графику функции в точке . | Билет 2Предел функции в точке Определение 1. (по Гейне)Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке (или при ) если для последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функций сходится А. Определение 2. (по Коши)Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство . Определение 3. (в кванторах) Теорема 1. (единственность предела). Если то . Допустим противное, т.е. . Выберем , так, что бы окрестности т. , не пересекались, т.е. т.к. , то |
Билет 3 Предел функции в точке (по Коши)Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство . Значение функции будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к .Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми и , найдется интервал , такой что все точки графика с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы. Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой - окрестности точки - (окрестность точки радиуса ). . ( - показывает что ). | Билет 2 т.е. аналогично то т.е. .Рассмотрим Тогда, и и , что невозможно, т.к. указанные окрестности не пересекаются. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке .Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T) Нормалью к графику функции в точке х0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).уравнение касательной имеет вид: |
Билет 3 2-ой достаточный признак экстремума : Если функция (x0 ) = 0 , т.е. x0 - стационарная точка функции (x) и ……(x0)<0, то в точке x0 функция (x) имеет max; если же (x0)>0 , то в ……точке x0 функция (x) имеет min. Запишем, для функции (x) в окрестности точки x0 локальную формулу …….Тейлора с n=2: + + В силу того, что (x0 ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как ……угодно близко к точке х0 из предыдущего равенства получили ……приближенное равенство: Видим, что знак приращения функции в точке х0 совпадает со знаком ее 2-……ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы. | Билет 4 |
Билет 5О предельном переходе в неравенств. Если в некоторой окрестности точки x0 (кроме быть может самой этой точки) ….выполняется условие и данные функции имеют в точке x0 ….пределы, то . ….Введем функцию . Ясно, что в окрестности ...т. X0. Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но 2. Односторонняя произваодня. Если f(x) определена в (х0-∂,х0), то лев. ….производной в т. х0 наз.f-‘(x0)= .Если f(x) определена ….в (х0,х0+∂), то правосторонней производной в точке х0 называется ….f+’(x0)= .Если в точке х0 выполняется =∞, то ….данная ф-ция имеет в точке х0 бесконечную производную. Теорема: Для того, чтобы ф-ция f(x) имела в точке х0 конечную производную необходимо, ...чтобы она имела односторонние конечные производные, равные между собой. | Билет 4 Точка М0 ( ; ) называется точкой перегиба графика функции у=х, если в т. график имеет касательную Т и существует такая окрестность т . в которой слева и справа от т. график имеет разные направления выпуклости т.е. при переходе через т. М0, график переходит с одной стороны касательной Т на другую. (Достаточное условие точки перегиба) Пусть функция х имеет на некоторой окрестности т.x0, тогда, если в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от т. X0,то график функции у=х имеет перегиб в т. М0 (x0;f(x0)) Док-во: Т.к. имеет разные знаки слева и справа от x0, то график функции у=х имеет слева и справа разный характер выпуклости, следовательно т. М0 (x0;f(x0)) –точка перегиба графика. Q. e. d. Доказанная теорема остаётся верной, если х имеет в некоторой окрестности т. X0, кроме самой точки x0 и существует касательная в М0(x0;f(x0)) |